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 Nullmenge bzgl. wesentlicher Supremumsnorm |
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Gast123
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
 |  Themenstart: 2021-01-22
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Hallo,
Ich möchte folgendes zeigen:
Sei X ein Maßraum und $f \in {\cal L}^{\infty}$.
Ich will zeigen, dass $M_{\|f\|_{\infty}} = \{x \in X: |f(x)| > \|f\|_{\infty}\}$ eine Nullmenge ist.
Für $n \in \mathbb{N}$ gilt $M_{\|f\|_{\infty}} = \cup_{n} M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}$.
Wobei $M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}} = \{x \in X: |f(x)| > \|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}\}$.
Nun soll man zeigen dass $M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}$ eine Nullmenge ist woraus dann auch folgt, dass $M_{\|f\|_{\infty}}$ eine Nullmenge ist.
Mein Ansatz ist folgender:
$$(\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}) \chi_{M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}} \leq |f(x)|$$
Wobei $\chi_{M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}}$ die charakteristische Funktion ist
Dann folgt:
$$(\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}) \mu(M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}) = \int(\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}) \chi_{M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}} d\mu \leq \int |f(x)| d\mu $$
Wenn dies nun endlich wäre, wäre ich fertig, denn dann hätte ich die Aussage: Für alle $\alpha = (\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}) \in \mathbb{R}$ gilt:
$$\alpha \mu(M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}) < \infty,$$
was ja nur wahr sein kann (für alle $\alpha \in \mathbb{R}$) falls $\mu(M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}})=0$
Mein Problem:
Der Term $\int |f(x)| d\mu $ ist nicht notwendig endlich. Muss ich mit meinem Beweis einen ganz anderen Ansatz finden (ich sollte es aber schon über die Teilmengen $M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}$ machen)?
Oder kann ich den Term in irgendeiner anderen Weise abschätzen damit ich herausfinde, dass $(\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}) \mu(M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}})$ endlich ist?
Hat jemand eine Idee?
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Gast123
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-23
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4246
Wohnort: Raun
| Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-24
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Hallo Gast123,
auch der Ansatz
\quoteon(2021-01-22 11:24 - Gast123 im Themenstart)
dass $(\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}) \mu(M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}})$ endlich ist?
\quoteoff
würde nicht ausreichen, weil in der Aussage
\quoteon
Für alle $\alpha = (\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}) \in \mathbb{R}$ gilt:
$$\alpha \mu(M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}) < \infty,$$
was ja nur wahr sein kann (für alle $\alpha \in \mathbb{R}$) falls $\mu(M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}})=0$
\quoteoff
das \(\alpha\) nicht alle reellen Zahlen durchläuft sondern nur welche kleiner \((\|f\|_{\infty}+1)\). Eine bessere Idee habe ich bis jetzt auch nicht.
Viele Grüẞe,
Stefan
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4647
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-24
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\quoteon(2021-01-22 11:24 - Gast123 im Themenstart)
Ich will zeigen, dass $M_{\|f\|_{\infty}} = \{x \in X: |f(x)| > \|f\|_{\infty}\}$ eine Nullmenge ist.
\quoteoff
Das folgt üblichwerweise direkt aus der Definition von $\|f\|_\infty$ als essentielles Supremum. Welche Definition verwendest du denn? (In deinem Startbeitrag scheint diese Definition merkwürdigerweise überhaupt nicht vorzukommen.)
--zippy
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Gast123
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-25
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Hallo,
danke für die Antworten.
Die Definition ist die folgende:
$\|f\|_{\infty}\ = \inf\{c \geq 0: \mu(\{x \in X: |f(x)| > c\})=0\}$.
1.) Kann man daraus schon ableiten, dass dann $M_{\|f\|_{\infty}} = \{x \in X: |f(x)| > \|f\|_{\infty}\}$ eine Nullmenge ist?
2.) Ja ich habe auch nicht verstanden, was denn der Unterschied sein soll, ob man zeigt, dass $M_{\|f\|_{\infty}}$ eine Nullmenge ist oder dass man zeigt, dass $M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}} = \{x \in X: |f(x)| > \|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}\}$ eine Nullmenge ist. Wieso würde sich da der Beweis überhaupt unterscheiden? (Ich versuche nur, den Weg über $M_{\|f\|_{\infty}+\frac{1}{n}}$ nachzuvollziehen, da dieser Weg im Lösungsvorschlag genommen wurde).
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4647
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-25
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\quoteon(2021-01-25 17:38 - Gast123 in Beitrag No. 4)
$\|f\|_{\infty}\ = \inf\{c \geq 0: \mu(\{x \in X: |f(x)| > c\})=0\}$.
\quoteoff
Aufgrund der Definition von $\|f\|_\infty$ als Infimum gibt es zu jedem $n>0$ eine Zahl $c_n$ mit $\|f\|_{\infty}\le c_n\le\|f\|_{\infty}+\frac1n$ und $\mu(\{x\in X:|f(x)|>c_n\})=0$. Also ist $M_{c_n}$ eine Nullmenge. Und wegen $M_{c_n}\supseteq M_{\|f\|_\infty+\frac1n}$ ist auch $M_{\|f\|_\infty+\frac1n}$ eine Nullmenge.
Jetzt kannst du mit deiner Überlegung $M_{\|f\|_{\infty}}=\bigcup_{n>0}M_{\|f\|_{\infty}+\frac1n}$ aus dem Startbeitrag weitermachen.
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Gast123
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-25
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Hallo zippy,
vielen Dank für die Antwort. Also wenn ich das jetzt richtig sehe, sind ja die $M_{\|f\|_\infty+\frac1n}$ eine Ausschöpfung von $M_{\|f\|_\infty}$, d.h. man kann dann einfach die Ausschöpfungsformel anwenden: $\mu(M_{\|f\|_\infty})= \lim \mu(M_{\|f\|_\infty+\frac1n}) =0$.
Oder kann man einfach auch schon Argumentieren, dass eine abzählbare Vereinigung von Nullmengen wieder eine Nullmenge ist?
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zippy
Senior
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-25
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| Gast123 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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