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Universität/Hochschule Fehler in Summenformel bei Mathematica
hyperG
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Als ich diesen Beitrag unter arxiv.org/pdf/math/9411224.pdf
gelesen hatte, freute ich mich, da Mathematica hieraus hypergeometrische Funktionen erstellen kann:



Natürlich rechne ich solche Behauptungen immer nach. Mathematica fand auch immer (N=2...10) für die unendliche Summe aus Gammafunktionen einen (expliziten) Funktionsausdruck (auch wenn viele die hypergeometrischen Funktionen nicht kennen).
t=-1/10 und immer 55 Nachkommastellen genau berechnet.
Für N=2,3,5 stimmten auch alle Funktionswerte exakt überein! Wow!

Doch dann kam das Problem:
bei N=4 und N > 5 stimmten nur 5...8 Nachkommastellen !!!????


Zunächst dachte ich an Fehler bei der hypergeometrischen Funktion: entweder bei der Wandlung der Summe oder bei der Berechnung, was bei hypergeometrischen Funktionen schon mal passieren kann.

Doch auch schon die Summe stimmte nicht:
mathematica
ReplaceAll[-(-1)^(1/3)+1/9 (-1)^(1/3) (-9+9 HypergeometricPFQ[{-(1/12),1/6,5/12},{1/3,2/3},-((256 t^3)/27)]+3 (-1)^(2/3) t HypergeometricPFQ[{1/4,1/2,3/4},{2/3,4/3},(256 t^3)/27]-2 (-1)^(1/3) t^2 HypergeometricPFQ[{7/12,5/6,13/12},{4/3,5/3},(256 t^3)/27]),{t->-1/10}]
N[%,55]
N[ReplaceAll[E^(-2*Pi*I/(N-1))-t/(N-1)*Sum[(t*E^(2*Pi*I/(N-1)))^k*Gamma[N*k/(N-1)+1]/(Gamma[k+2]*Gamma[k/(N-1)+1]),{k,0,Infinity}],{N->4,t->-1/10}],55]
N[Root[-1/10-#1+#1^4&,3,0],55]
Out[12]= -(-1)^(1/3)+1/9 (-1)^(1/3) (-9+9 HypergeometricPFQ[{-(1/12),1/6,5/12},{1/3,2/3},32/3375]-3/10 (-1)^(2/3) HypergeometricPFQ[{1/4,1/2,3/4},{2/3,4/3},-(32/3375)]-1/50 (-1)^(1/3) HypergeometricPFQ[{7/12,5/6,13/12},{4/3,5/3},-(32/3375)])
Out[13]= -0.4657150992796921053323676818804594107984544059877255403-0.8681601284116940201930913793676416918455303015641596986 I
Out[14]= -0.4657150992796921053323676818804594107984544059877255403-0.8681601284116940201930913793676416918455303015641596986 I
Out[15]= -0.4657143012057157092760533344103470042004310361851366751-0.8681587461070187036986367695107440069270115875731152708 I -> nur hier stimmen alle Nachkommastellen!!

Also habe ich mal mit NSum numerisch (ohne Abkürzung) nachgerechnen:
mathematica
NSum[(-1/10*E^(2*Pi*I/(4 - 1)))^k*
  Gamma[4*k/(4 - 1) + 1]/(Gamma[k + 2]*Gamma[k/(4 - 1) + 1]), {k, 0, 
  Infinity}, WorkingPrecision -> 66]
1.0285709638285287217183999676902217284921325283908857635684 - 
 0.0640002696774017080474079627346071111709661832689345929249 I

Mathematica konnte diese trotz WorkingPrecision -> 66
nur auf 31 Stellen genau berechnen
ABER dann stimmte das Ergebnis!

Es liegt also an Mathematica: vermutlich wird immer mit hypergeometrischen Funktionen gerechnet, wenn mathematica denkt, dass die Wandlung in hypergeometrische Funktionen perfekt funktioniert hat & man sie als Abkürzung für Sum[,inf] nehmen kann.

Ich werde mal versuchen, ob ich hyg3F2 nachrechnen kann...




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hyperG
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Sum statt NSum:
Mathematica
In[24]:= 
Sum[(t*E^(2*Pi*I/(4-1)))^k*Gamma[4*k/(4-1)+1]/(Gamma[k+2]*Gamma[k/(4-1)+1]),{k,0,Infinity}]
Out[24]= -(((-1)^(1/3) (-9+9 HypergeometricPFQ[{-(1/12),1/6,5/12},{1/3,2/3},-((256 t^3)/27)]+3 (-1)^(2/3) t HypergeometricPFQ[{1/4,1/2,3/4},{2/3,4/3},(256 t^3)/27]-2 (-1)^(1/3) t^2 HypergeometricPFQ[{7/12,5/6,13/12},{4/3,5/3},(256 t^3)/27]))/(3 t))
In[32]:= N[ReplaceAll[-(((-1)^(1/3) (-9+9 HypergeometricPFQ[{-(1/12),1/6,5/12},{1/3,2/3},-((256 t^3)/27)]+3 (-1)^(2/3) t HypergeometricPFQ[{1/4,1/2,3/4},{2/3,4/3},(256 t^3)/27]-2 (-1)^(1/3) t^2 HypergeometricPFQ[{7/12,5/6,13/12},{4/3,5/3},(256 t^3)/27]))/(3 t)),{t->-1/10}],55]
 
Out[32]= 1.0285470216092368400289695435862176760463678203682337909-0.0640417388176612028810462584411652512238302397690815363 I

rechnet also ungenau!

Erste hyg3F2 stimmt bei Mathematica & mir (www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php )
 überein:
mathematica
HypergeometricPFQ[{-(1/12),1/6,5/12},{1/3,2/3},32/3375]
0.999752284277481680277118093852589





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hyperG
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Die anderen 2 hyg3F2 stimmen auch exakt:
mathematica
HypergeometricPFQ[{1/4,1/2,3/4},{2/3,4/3},-(32/3375)]
0.999003978139038030597396860186394
 
HypergeometricPFQ[{7/12,5/6,13/12},{4/3,5/3},-(32/3375)]
0.997763379239208158244038268329828

Zusammen:
mathematica
In[33]:= N[ReplaceAll[-(((-1)^(1/3) (-9+9*0.9997522842774816802771180938525886351754205+3 (-1)^(2/3) t 0.9990039781390380305973968601863938722675957227-2 (-1)^(1/3) t^2 0.99776337923920815824403826832982828442393697814))/(3 t)),{t->-1/10}],33]
 
Out[33]= 1.028547021609236840028969543586218-0.06404173881766120288104625844116 I
richtig= 1.028570963828528721718399967690221-0.06400026967740170804740796273460 I

Also ist die Wandlung der Summe in die hypergeometrische Funktion schon falsch!

WolframAlpha.com kann leider
Sum[(t*E^(2*Pi*I/(3)))^k*Gamma[4*k/(3)+1]/(Gamma[k+2]*Gamma[k/(3)+1]),{k,0,Infinity}]
nicht berechnen...

Hat hier jemand andere Möglichkeiten, diese Summe in eine Funktion zu wandeln?



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Anfrage bei Mathematica läuft...



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Schon die Partial-Summe ist falsch in Mathematica -> das müssen die Programmierer von Mathematica korrigieren! Hier 2 Wege, wie man die Summe bis n=13 berechnen kann:


Egal ob ich Gammafunktion oder Fakultät nehme! (nicht dass jemand sagt, dass x! nur für ganze Werte definiert ist)

Zwar konnte ich x1 für N > 5 nicht bestimmen, aber x2 hat funktioniert.
Unter Loesungsformeln-fuer-Polynome-hypergeometrische-Funktion
habe ich mal eine Übersicht angefangen & auch immer mit Probe belegt.

Interessant:
bei x^5 - 5*x + 12 = 0 schreibt Wikipedia unter de.wikipedia.org/wiki/Gleichung_f%C3%BCnften_Grades
"Allerdings können die Lösungen auch wesentlich komplexer sein. Zum Beispiel hat die Gleichung {\displaystyle x^{5}-5x+12=0}x^{5}-5x+12=0 die Galoisgruppe D(5), welche von „(1 2 3 4 5)“ und „(1 4) (2 3)“ erzeugt wird, und die Lösung benötigt ausgeschrieben etwa 600 Symbole."

Ich konnte in Wurzelschreibweise & mit hypergeometrischen Funktionen je mit weniger als 90 Zeichen auskommen :-)





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