|
Autor |
Integral berechnen mit Residuensatz? |
|
jessejames
Junior  Dabei seit: 19.11.2020 Mitteilungen: 9
 |
Aufgabe:
Berechnen Sie das Integral
\(
\int \limits_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \varphi}{a+\cos \varphi}
\)
für \( a>1 \)
Mein Ansatz wäre, zu zeigen, dass \( \int \limits_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \varphi}{a+\cos \varphi}=-i \int \limits_{|z|=1} \frac{\mathrm{d} z}{z^{2}+2 a z+1}, \) und dann
den Residuensatz anwenden.
Was meint ihr? Wie würde man hier weiter verfahren, um das zu lösen?
|
Notiz Profil
Quote
Link |
StefanVogel
Senior  Dabei seit: 26.11.2005 Mitteilungen: 3786
Herkunft: Raun
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-24
|
Hallo jessejames,
wenn du es schaffst, die Substitution zu zeigen, dann ist Residuensatz anwenden die richtige Fortsetzung. Ich habe es bis jetzt nicht geschafft, will es aber nochmal versuchen.
\(z=e^{2i\phi}\)
\(\operatorname{d}z = 2i e^{2i\phi} \operatorname{d}\phi\)
\(\dfrac{1}{z^2+az+1} = \ldots???\ldots\)
Viele Grüße,
Stefan
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Kuestenkind
Senior  Dabei seit: 12.04.2016 Mitteilungen: 1953
 |     Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-24
|
Huhu Stefan,
es ist für \(a>1\): \(\int \limits_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \varphi}{a+\cos \varphi}=\frac{1}{2}\int \limits_{0}^{2\pi} \frac{\mathrm{d} \varphi}{a+\cos \varphi}\). Mit \(z=e^{i\varphi}\), \(\dd \varphi=\frac{\dd z}{iz}\) und \(\cos \varphi=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)\) folgt dann \(\int \limits_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \varphi}{a+\cos \varphi}=-i \int \limits_{|z|=1} \frac{\mathrm{d} z}{z^{2}+2 a z+1}\).
Gruß,
Küstenkind
|
Notiz Profil
Quote
Link |
jessejames
Junior  Dabei seit: 19.11.2020 Mitteilungen: 9
 |     Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-25
|
Okay, super, danke euch für die Hilfe! Werde ich mal so anwenden!
|
Notiz Profil
Quote
Link |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen. Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|