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Funktionentheorie » Integration » Integral berechnen mit Residuensatz?
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Universität/Hochschule Integral berechnen mit Residuensatz?
jessejames
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  Themenstart: 2021-01-23

Aufgabe: Berechnen Sie das Integral \( \int \limits_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \varphi}{a+\cos \varphi} \) für \( a>1 \) Mein Ansatz wäre, zu zeigen, dass \( \int \limits_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \varphi}{a+\cos \varphi}=-i \int \limits_{|z|=1} \frac{\mathrm{d} z}{z^{2}+2 a z+1}, \) und dann den Residuensatz anwenden. Was meint ihr? Wie würde man hier weiter verfahren, um das zu lösen?


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-24

Hallo jessejames, wenn du es schaffst, die Substitution zu zeigen, dann ist Residuensatz anwenden die richtige Fortsetzung. Ich habe es bis jetzt nicht geschafft, will es aber nochmal versuchen. \(z=e^{2i\phi}\) \(\operatorname{d}z = 2i e^{2i\phi} \operatorname{d}\phi\) \(\dfrac{1}{z^2+az+1} = \ldots???\ldots\) Viele Grüße, Stefan


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Kuestenkind
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-24

Huhu Stefan, es ist für \(a>1\): \(\int \limits_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \varphi}{a+\cos \varphi}=\frac{1}{2}\int \limits_{0}^{2\pi} \frac{\mathrm{d} \varphi}{a+\cos \varphi}\). Mit \(z=e^{i\varphi}\), \(\dd \varphi=\frac{\dd z}{iz}\) und \(\cos \varphi=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)\) folgt dann \(\int \limits_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \varphi}{a+\cos \varphi}=-i \int \limits_{|z|=1} \frac{\mathrm{d} z}{z^{2}+2 a z+1}\). Gruß, Küstenkind


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jessejames
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-25

Okay, super, danke euch für die Hilfe! Werde ich mal so anwenden!


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jessejames hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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