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Mathematik » Stochastik und Statistik » P(X<Y) mit gemeinsamer Dichte
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Universität/Hochschule J P(X<Y) mit gemeinsamer Dichte
paulster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-24


Hallo Leute,

ich hätte da eine Frage bzgl. eines Beispiels.

Ich hab dieses Beispiel gelöst, indem ich $P[X \leq Y] = \int_{-\infty}^{\infty} F_{x}(y)*f_{y}(y) \,dy$ berechnet habe mit passenden Grenzen natürlich. Bei mir kommt $0,15156$ raus. Diese Rechnerei ist aber doch aufwendig und kostet bei er Prüfung Zeit. Ist es irgendwie möglich, diese Wahrscheinlichkeit auch direkt mit der gemeinsamen Dichte zu berechnen, oder muss man das auf den längeren Weg machen ?

Wäre cool, wenn vielleicht jemand einen schnelleren Weg kennt ;)

LG paulster



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-24


2021-01-24 18:52 - paulster im Themenstart schreibt:
 

Wäre cool, wenn vielleicht jemand einen schnelleren Weg kennt ;)

LG paulster

Moin, vielleicht so:
\[P(X<Y)=P(T_y<T_x)=\frac{2}{45\cdot20^4}\int_0^{20} \int_0^{s}(9\cdot20^2-(3s-t)^2)\,dt\,ds\,.\]
*Ich* erhalte uebrigens 0.12963.

vg Luis




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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Ciao paulster

Für die Berechnung stimme ich luis52 zu:
\[
P(T_y < T_x) = \int_0^{20} \left( \int_0^s f_{T_x,T_y}(s,t) \mathrm{d}t \right) \mathrm{d}s
\]
Du kannst aber auf jeden Fall, um deine Berechnungen sauberer zu halten, dein $f$ zunächst noch ein wenig vereinfachen zu
\[
f_{T_x,T_y}(s,t) =
\begin{cases}
\frac{1}{1\,000} - \frac{(3s-t)^2}{3\,600\,000} &\text{, falls }(s,t) \in [0,20] \times [0,60] \\
0 &\text{, sonst}
\end{cases}
\]
Wenn du willst, kannst du nun noch zeigen, dass $f_{T_x,T_y}$ tatsächlich eine Dichtefunktion ist (wird vorausgesetzt, ist aber eine gute Übung😉).

LG Phoensie
\(\endgroup\)


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paulster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-25


Danke luis52 und Phoensie. Das geht so natürlich viel schneller. Danke euch für eure Antworten 😁👌.

LG paulster



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