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| Autor |
  Stetigkeit cos(1/x) |
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sina1357
Aktiv 
Dabei seit: 14.11.2020
Mitteilungen: 88
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Hallo zusammen,
ich untersuche folgende Funktion auf Stetigkeit:
f(x)= 1, falls x=0
cos(1/x), sonst
Ich weiß, dass der Grenzwert von cos(1/x) gegen 0 nicht existiert,
daher fehlt mir der Ansatz, wie ich die Stetigkeit für x=0 prüfen kann.
Vielen Dank für eure Hilfe!
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1945
|      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-24
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sulky
Aktiv 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1648
| Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-24
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Hallo Sina,
Wenn ich richtig liege so sieht man mit der Tylorreihenentwicklung sofort dass es nicht stetig sein kann.
$\forall \epsilon >0 \; \exists \delta=\delta(\epsilon)$ sodass $|x|<\delta \rightarrow |cos(1/x)|< \epsilon $
$|cos(1/x)-1|$ lässt sich aber wunderschön als Tylorreihe schreiben. Insbesondere weil die Tylorreihe von $cos()$ schon mit einer $1$ beginnt.
$cos(1/x)-1=-\frac{1}{x^2 2!}+\frac{1}{x^4 4!}-\frac{1}{x^6 6!}+\frac{1}{x^8 8!}-\frac{1}{x^8 8!}+\frac{1}{x^{10} 10!}$
Bleibt zu zeigen dass dieser Ausruck sicher nicht gegen Null geht wenn $x\to 0$
Mein Ansatz wäre dann hier Zweiergrüppchen zu machen. Wenn diese Vorzeichengleich sind, dann
$=(-\frac{1}{x^2 2!}+\frac{1}{x^4 4!})+(-\frac{1}{x^6 6!}+\frac{1}{x^8 8!})+(-\frac{1}{x^8 8!}+\frac{1}{x^{10} 10!})...=\sum_{k=1}^\infty (-\frac{1}{x^{4k-2} (4k-2)!}+\frac{1}{x^{4k} (4k)!})$
Bei jedem dieser Zweiergrüppchen ist der rechtsseitige Ausdruck grösser als der Linksseitige sofoern $x$ genügend nah bei Null lieg.
Somit ist jedes Zweiergrüppchen Positiv.
Der Gesamtausdruck ist somit grösser Null.
Irrtum vorbehalten. Bitte genau prüfen
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sina1357
Aktiv 
Dabei seit: 14.11.2020
Mitteilungen: 88
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24
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Danke für deine Hilfe!
Das Vorhandensein der Existenz als Kriterium kannte ich nicht.
Danke!!
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11446
Herkunft: Bayern
 | Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-24
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2021-01-24 19:45 - sina1357 im Themenstart schreibt:
Ich weiß, dass der Grenzwert von cos(1/x) gegen 0 nicht existiert,
daher fehlt mir der Ansatz, wie ich die Stetigkeit für x=0 prüfen kann.
Was müßtest Du denn machen, um Unstetigkeit zu zeigen?
Gruß Wauzi
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Primzahlen sind auch nur Zahlen
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sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1648
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-24
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Vielleicht noch folgendes:
Kennst du das "Folgenkriterium" für Stetigkeit?
die Funktion $cos(1/x)$ springt in der Nähe des Nullpunktes derart nervös vom positiven zum negativen, da lassen sich bestimmt Folgen konstruieren
mit welchen man die Unsetigkeit zeigen kann.
Ich vermute dass im Sinne des Aufgabenstellers die Idee ist die Anwendung des Folgenkriteriums zu üben.
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Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 348
Herkunft: Muri AG, Schweiz
 | Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-24
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Liebe sina1357
Für vielerlei Aufgaben der Analysis einer reellen Variable kannst du Funktionsgraphen zeichnen (z.B. Desmos-Grafikrechner (gratis, auch als App)), um dir eine Idee zu verschaffen, wie du am besten an die Aufgabe rangehst.
Um die Unstetigkeit zu zeigen (sofern dir das Folgenkriterium für Stetigkeit bekannt ist), kannst du dich, wie sulky treffend formuliert hat, auf die Suche nach geeigneten Folgen machen.
Vorgehen:
Versuche, eine Folge $(x_n)_{n \in \N}$ zu finden, für die \[\lim_{n \to \infty} x_n = 0\] erfüllt ist (es handelt sich also um eine Nullfolge), und die ABER
\[
\lim_{n \to \infty} f(x_n) \neq 1
\]
ergibt.
Was nützt das?
Was du dann nämlich gezeigt haben wirst, ist
\[
\lim_{n \to \infty} f(x_n)
\neq
\underbrace{f\left( \lim_{n \to \infty} x_n \right)}_{=1}
\]
was mit dem Folgenkriterium die Stetigkeit von $f$ widerlegt.
Zusätzlicher Tipp
Dein $f$ scheint (weil ein Kosinus verbaut ist) immer wieder (egal wie nahe bei $x=0$) den Wert -1 anzunehmen. Vielleicht kannst du ja dort eine konstant-wertige Folge erzeugen. Frage: Warum kannst du dich O.B.d.A. auf nichtnegative Folgeglieder $x_n \geq 0$ beschränken?
LG Phoensie😁\(\endgroup\)
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