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 Polarkoordinatenabbildung, Winkel, Skalarprodukt |
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Majazakava
Aktiv 
Dabei seit: 07.06.2020
Mitteilungen: 71
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Hi,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:
Seien \(x,y \in \IR^2\) linear unabhängig und sei die Ebene \(E:=span\{x,y\}\). Wir identifizieren \(E\) mit \(\IR^2\) durch Wahl eines Orthonormalsystems und fixieren eine Polarkoordinatenabbildung:
\(P:[0,\infty[ \times [0,2\pi[ \to E,\ (r,\varphi) \mapsto (rcos(\varphi),rsin(\varphi))\).
Seien \(x=P(r_1,\varphi_1), \ y=P(r_2,\varphi_2)\) und der Winkel zwischen \(x\) und \(y\) \(\measuredangle(x,y):=\varphi_2-\varphi_1\).
Zeige, dass \(\langle x,y\rangle = \|x\|\|y\|cos(\measuredangle(x,y))\)
Ich habe versucht, die rechte Seite umzuformen:
\[\|x\|\|y\|cos(\measuredangle(x,y))\\ =\|P(r_1,\varphi_1)\|\|P(r_2,\varphi_2)\|cos(\measuredangle(x,y))\\
=\|(r_1cos(\varphi_1),r_1sin(\varphi_1))\|\|(r_2cos(\varphi_2),r_2sin(\varphi_2))\|cos(\varphi_2-\varphi_1)\\
=\sqrt{r_1^2cos(\varphi_1)^2+r_1^2sin(\varphi_1)^2} \sqrt{r_2^2cos(\varphi_2)^2+r_2^2sin(\varphi_2)^2}cos(\varphi_2-\varphi_1)\\
=\sqrt{r_1^2}\sqrt{r_2^2}cos(\varphi_2-\varphi_1)\\
=r_1*r_2*cos(\varphi_2-\varphi_1)\]
Ich will \(cos(\varphi_2-\varphi_1)\) zu \(cos(\measuredangle(r_1,r_2))\) umformen, um damit auf \(r_1*r_2*cos(\measuredangle(r_1,r_2))\ = \ \langle r_1,r_2\rangle\) zu kommen. Und dann irgendwie auf \(\langle r_1,r_2\rangle=\langle x,y\rangle\).
Hier komme ich leider nicht mehr weiter.
Ist das überhaupt der richtige Ansatz?
Ich bin dankbar für jede Hilfe.
LG Majazakava
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Phoensie
Aktiv 
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 348
Herkunft: Muri AG, Schweiz
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Wie habt ihr den Winkel $\angle(x,y)$ in eurer Vorlesung definiert?
Angenommen, ihr hättet
\[
\angle(x,y) = \arccos\left(\frac{\langle x,y \rangle}{\|x\|\|y\|}\right)
\]
zur Verfügung (so war in meiner Linalg1-Vorlesung das Winkelmass euklidischer Vektorräume definiert worden), dann wäre der Beweis ziemlich selbstredend, wenn du mit der rechten Seite deiner Behauptung startest.
Alternativ könntest du das Argument über den Kosinussatz für Dreiecke führen (hier mehr dazu), sofern dieser verwendet werden darf. Betrachte hierzu das von $x$ und $y$ aufgespannte Dreieck in deinem Vektorraum.
LG Phoensie\(\endgroup\)
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Majazakava
Aktiv
Dabei seit: 07.06.2020
Mitteilungen: 71
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-25
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Hi,
ich habe es mit dieser Definition vom Winkel sehr schnell lösen können.
Danke dafür.
Mich würde aber die Alternative mit dem Kosinussatz auch interessieren. Ich habe in meiner Frage schon etwas in die Richtung versucht, aber jetzt sehe ich das meine Folgerung so, gar nicht richtig ist.
Falls das überhaupt der richtige Ansatz ist, wie komme ich weiter? Wenn nein, wie soll ich dann anfangen?
Vielen Dank im Vorfeld
LG Majazakava
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