Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionen » Polarkoordinatenabbildung, Winkel, Skalarprodukt
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Polarkoordinatenabbildung, Winkel, Skalarprodukt
Majazakava
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 07.06.2020
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-24


Hi,

ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Seien \(x,y \in \IR^2\) linear unabhängig und sei die Ebene \(E:=span\{x,y\}\). Wir identifizieren \(E\) mit \(\IR^2\) durch Wahl eines Orthonormalsystems und fixieren eine Polarkoordinatenabbildung:
\(P:[0,\infty[ \times [0,2\pi[ \to E,\ (r,\varphi) \mapsto (rcos(\varphi),rsin(\varphi))\).
Seien \(x=P(r_1,\varphi_1), \ y=P(r_2,\varphi_2)\) und der Winkel zwischen \(x\) und \(y\) \(\measuredangle(x,y):=\varphi_2-\varphi_1\).
Zeige, dass \(\langle x,y\rangle = \|x\|\|y\|cos(\measuredangle(x,y))\)

Ich habe versucht, die rechte Seite umzuformen:
\[\|x\|\|y\|cos(\measuredangle(x,y))\\ =\|P(r_1,\varphi_1)\|\|P(r_2,\varphi_2)\|cos(\measuredangle(x,y))\\
=\|(r_1cos(\varphi_1),r_1sin(\varphi_1))\|\|(r_2cos(\varphi_2),r_2sin(\varphi_2))\|cos(\varphi_2-\varphi_1)\\
=\sqrt{r_1^2cos(\varphi_1)^2+r_1^2sin(\varphi_1)^2} \sqrt{r_2^2cos(\varphi_2)^2+r_2^2sin(\varphi_2)^2}cos(\varphi_2-\varphi_1)\\
=\sqrt{r_1^2}\sqrt{r_2^2}cos(\varphi_2-\varphi_1)\\
=r_1*r_2*cos(\varphi_2-\varphi_1)\] Ich will \(cos(\varphi_2-\varphi_1)\) zu \(cos(\measuredangle(r_1,r_2))\) umformen, um damit auf \(r_1*r_2*cos(\measuredangle(r_1,r_2))\ = \ \langle r_1,r_2\rangle\) zu kommen. Und dann irgendwie auf \(\langle r_1,r_2\rangle=\langle x,y\rangle\).

Hier komme ich leider nicht mehr weiter.
Ist das überhaupt der richtige Ansatz?

Ich bin dankbar für jede Hilfe.
LG Majazakava







Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Phoensie
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 348
Herkunft: Muri AG, Schweiz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Wie habt ihr den Winkel $\angle(x,y)$ in eurer Vorlesung definiert?

Angenommen, ihr hättet
\[
\angle(x,y) = \arccos\left(\frac{\langle x,y \rangle}{\|x\|\|y\|}\right)
\] zur Verfügung (so war in meiner Linalg1-Vorlesung das Winkelmass euklidischer Vektorräume definiert worden), dann wäre der Beweis ziemlich selbstredend, wenn du mit der rechten Seite deiner Behauptung startest.

Alternativ könntest du das Argument über den Kosinussatz für Dreiecke führen (hier mehr dazu), sofern dieser verwendet werden darf. Betrachte hierzu das von $x$ und $y$ aufgespannte Dreieck in deinem Vektorraum.

LG Phoensie
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Majazakava
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 07.06.2020
Mitteilungen: 71
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-25


Hi,

ich habe es mit dieser Definition vom Winkel sehr schnell lösen können.
Danke dafür.

Mich würde aber die Alternative mit dem Kosinussatz auch interessieren. Ich habe in meiner Frage schon etwas in die Richtung versucht, aber jetzt sehe ich das meine Folgerung so, gar nicht richtig ist.

Falls das überhaupt der richtige Ansatz ist, wie komme ich weiter? Wenn nein, wie soll ich dann anfangen?

Vielen Dank im Vorfeld
LG Majazakava



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Majazakava hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]