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  Konstruktion einer Nullmenge mit Verdichtungspunkten |
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Phoensie
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Wohnort: Muri AG, Schweiz
 |  Themenstart: 2021-01-24
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Liebe Matheplanetarier
Für eine Aufgabe, die mir auf Französisch gestellt wurde, habe ich folgende freie Übersetzung verfasst:
Definition.
Im Folgenden heisse $x \in \R$ ein Siedepunkt (Französisch point de condensation) der Menge $A \subseteq \R$, wenn der Durchschnitt jeder Umgebung von $x$ mit $A$ überabzählbar ist.
Aufgabe.
Konstruiere eine Lebesgue-Nullmenge $N \subseteq \R$, sodass jeder Punkt in $\R$ ein Siedepunkt von $N$ ist.
Meine Frage.
Könnt ihr mir diese Definition eines Siedepunkts in anderen (simpleren?) Worten erklären, ohne mir die Aufgabe zu lösen? Ich verstehe nicht wirklich, wie ich mir das vorzustellen habe (z.B. warum darf ein Siedepunkt ausserhalb der betrachteten Teilmenge $A$ liegen?), möchte aber dennoch die Aufgabe selbst lösen.😄
Liebe Grüsse
Phoensie\(\endgroup\)
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sonnenschein96
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-25
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Hallo Phoensie,
\quoteon(2021-01-24 22:41 - Phoensie im Themenstart)
Definition.
Im Folgenden heisse $x \in \R$ ein Siedepunkt (Französisch point de condensation) der Menge $A \subseteq \R$, wenn der Durchschnitt jeder Umgebung von $x$ mit $A$ überabzählbar ist.
\quoteoff
Ich glaube die Übersetzung "Siedepunkt" ist nicht so gut ;D Das gehört wohl eher in die Physik (und "sieden" bezeichnet auch den umgekehrten Vorgang von "kondensieren" (verdichten)). Bei Wikipedia wird dies "Verdichtungspunkt" oder "Kondensationspunkt" genannt, siehe
https://de.wikipedia.org/wiki/H%C3%A4ufungspunkt#H%C3%A4ufungspunkte_und_Ber%C3%BChrpunkte_einer_Menge
\quoteon(2021-01-24 22:41 - Phoensie im Themenstart)
Meine Frage.
Könnt ihr mir diese Definition eines Siedepunkts in anderen (simpleren?) Worten erklären, ohne mir die Aufgabe zu lösen? Ich verstehe nicht wirklich, wie ich mir das vorzustellen habe (z.B. warum darf ein Siedepunkt ausserhalb der betrachteten Teilmenge $A$ liegen?)
\quoteoff
Der Begriff "Verdichtungspunkt" ist offenbar eine Verschärfung des Begriffs "Häufungspunkt". \(x\) ist ein Häufungspunkt von \(A\) wenn jede Umgebung von \(x\) einen Punkt aus \(A\) enthält, der ungleich \(x\) ist. Der Begriff "Häufungspunkt" wiederum ist eine Verschärfung des Begriffes "Berührpunkt", da jeder Punkt in \(A\) auch stets ein Berührpunkt ist. Die Begriffe "Berührpunkt" und "Häufungspunkt" sollten Dir bekannt sein, oder?
Anschaulich ist ein Berührpunkt eben ein Punkt, der die Menge "berührt", d.h. die Menge kommt dem Punkt beliebig nahe (dafür muss er nicht in der Menge liegen, er kann eben auch auf dem Rand liegen). Bei Häufungspunkten muss sich die Menge an diesem Punkt "häufen", man schließt daher isolierte Punkte aus. Bei Verdichtungspunkten muss die Menge bei dem Punkt "besonders dicht" sein, es müssen also "sehr viele" (überabzählbar viele) Punkte von \(A\) bei \(x\) liegen.
Betrachte z.B. die Menge \(A=((-2,-1)\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}))\cup\{\frac{1}{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}\subseteq\mathbb{R}\) (eine Skizze hilft Dir vielleicht). Die Menge aller Berührpunkte ist \([-2,-1]\cup\{\frac{1}{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}\cup\{0\}\), die Menge aller Häufungspunkte ist \([-2,-1]\cup\{0\}\) und die Menge aller Verdichtungspunkte ist \([-2,-1]\).
Du bist nun also auf der Suche einer Nullmenge, die insbesondere überabzählbar sein muss (sonst hätte sie keine Verdichtungspunkte). Kennst Du überabzählbare Nullmengen?
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Phoensie
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
So, jetzt habe ich es doch noch geschafft, mir ein wenig mehr Gedanken zu machen zum Thema. Das Ganze mit Verdichtungspunkten, Häufungspunkten und Berührungspunkten ist i.m.h.o. skurril (ging nicht so leicht in meinen Kopf rein, meine ich damit).😁
Mein Vorschlag: Sei $\mathcal{C}$ die "gewöhnliche" Cantormenge. Definiere \[N:=\mathcal{C} + \Q := \{c + q \mid c \in \mathcal{C}, q \in \Q\}\]
$N$ liegt dicht in $\R$, da bereits $\Q$ dicht in $\R$ ist.
$\mathcal{C}$ hat Lebesguemass null und $\Q$ ist wegen der Abzählbarkeit auch eine Nullmenge.
Wie zeige ich nun, dass auch $N$ eine Nullmenge ist? (im Allgemeinen stimmt die Implikation $(\lambda(A)=0,\lambda(B)=0 \implies \lambda(A+B)=0)$ ja nicht, denn $\mathcal{C}+\mathcal{C}=[0;2]$ (Beweis: hier), womit eine Minkowski-Summe zweier Nullmengen hier keine Nullmenge mehr ist).
LG Phoensie😄\(\endgroup\)
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sonnenschein96
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-23
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\quoteon(2021-03-23 22:30 - Phoensie in Beitrag No. 2)
Das Ganze mit Verdichtungspunkten, Häufungspunkten und Berührungspunkten ist i.m.h.o. skurril (ging nicht so leicht in meinen Kopf rein, meine ich damit).😁
\quoteoff
Hmm also ich finde diese Begriffe eigentlich recht anschaulich, vor allem wenn man auf \(\mathbb{R}\) mit der euklidischen Topologie arbeitet.
\quoteon(2021-03-23 22:30 - Phoensie in Beitrag No. 2)
Wie zeige ich nun, dass auch $N$ eine Nullmenge ist?
\quoteoff
Es gilt doch \(\mathcal{C}+\mathbb{Q}=\bigcup_{q\in\mathbb{Q}}(\mathcal{C}+q)\) und dies ist eine abzählbare Vereinigung von Nullmengen.
Du müsstest jetzt noch bergründen, warum jedes \(x\in\mathbb{R}\) ein Verdichtungspunkt von \(N\) ist, also wieso \(U\cap N\) überabzählbar ist für jede Umgebung \(U\) von \(x\).
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Phoensie hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Phoensie hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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