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Mathematik » Strukturen und Algebra » Rekursive Definition n-stelliger Verknüpfungen
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Universität/Hochschule Rekursive Definition n-stelliger Verknüpfungen
Danjoco
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-25




Ich würde gerne wissen, welche Version des Rekursionssatzes man anwenden müsste und wie um auf diese Definitionen zu gelangen.

Liebe Grüße



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-25


In dieser Definition finden sich viele Fehler. Ich hoffe, der/die Autor*in ist nicht mehr in der Lehre aktiv?

Offenbar soll $*$ hier eine binäre Verknüpfung auf der Menge $M$ sein. Andererseits steht dort, dass man von einer beliebigen algebraischen Struktur ausgeht. Das passt nicht zusammen. Es gibt ja sehr viel mehr algebraische Strukturen.

$0$ ist eine natürliche Zahl (LinkÜber die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle). Es müsste dort also $\IN^+$ stehen, weil aus einer binären Verknüpfung wie $*$ keine $0$-stellige Verknüpfung gemacht werden kann.

Es ist falsch, $a_1,\dotsc,a_n \in M$ vorher zu fixieren, zum einen weil $n \in \IN$ erst in der nächsten Zeile eingeführt wird, zum anderen weil die Abbildung $P$ auf ganz $M^n$ definiert werden muss, nicht nur für ein festes Tupel.

Es ist unvollständig, zu sagen, dass $P$ mit einer $i$-stelligen Verknüpfung $Q$ und einer $j$-stelligen Verknüpfung $\tilde{Q}$ definiert wird; was sollen denn $Q$ und $\tilde{Q}$ genau sein? Vermutlich sollen dabei die bereits rekursiv aus $P$ definierten Verknüpfungen $P_i,P_j$ gemeint sind. Aber was sollen $i,j$ sein? Unabhängig davon, ob die Definition von der Wahl von $i,j$ abhängt (siehe nächster Punkt), sollte in der Definition klipp und klar gesagt werden, welche Wahl man trifft, und Worte zur Unabhängigkeit (sofern sie gilt) verlieren.

Der gröbste Fehler ist, dass es gar keine natürliche oder eindeutige Wahl von $i,j$ gibt. Unterschiedliche Wahlen führen zu unterschiedlichen Verknüpfungen. Für $n=3$ könnte man sich zum Beispiel für $(a,b,c) \mapsto a * (b * c)$ oder für $(a,b,c) \mapsto (a * b) * c$ entscheiden. Weil $*$ nicht assoziativ vorausgesetzt ist, sind diese Verknüpfungen im Allgemeinen unterschiedlich.

Wieso wird $V_n(M)$ definiert, aber nicht weiter benutzt? Das ist zumindest stilistisch falsch, und es ist potenziell verwirrend.

Bei der Definition der "Standardverknüpfung" werden die oben genannten Fehler nun behoben. Diese Definition ist überraschenderweise richtig. Meine einzige Kritik wäre, dass hier die binäre Verknüpfung $*$ gar nicht mehr in der Notation $P^{(n)}_{St}$ auftaucht. Ich würde die Notation $*^{(n)}$ wählen.

Und um nun deine Frage dafür zu beantworten: Der Rekursionssatz sagt ja (hier mit Anfangswert $1$), dass es jedes Tripel $(X,x,S)$, wobei $X$ eine Menge, $x \in X$, und $S : X \to X$ ist, genau eine Abbildung $f : \IN^+ \to M$ gibt mit $f(1)=x$, $f(n+1)=S(f(n))$. Wie muss man dieses Tripel hier aber wählen?

Sei nun $*$ eine binäre Verknüpfung auf $M$. Sei dazu $X := \coprod_{n \in \IN^+} \mathrm{Abb}(M^n,M)$, das ist die disjunkte Vereinigung aller Mengen von Abbildungen $M^n \to M$. Wir haben das Element $\mathrm{id}_M \in \mathrm{Abb}(M,M) \subseteq X$. Wir haben die Funktion $S : X \to X$, die wie folgt definiert ist: Wenn $P \in X$, etwa $P : M^n \to M$ für ein $n \in \IN^+$, definieren wir $S(P) : M^{n+1} \to M$ durch

$S(P)(a_1,\dotsc,a_{n+1}) := P(a_1,\dotsc,a_n) * a_{n+1}$.

Wir haben damit ein Tripel $(X,\mathrm{id}_M,S)$ definiert, und der Rekursionssatz liefert die gewünschte Abbildung $f : \IN^+ \to X$. Es gilt hier zudem nach Konstruktion $f(n) \in \mathrm{Abb}(M^n,M)$, und man kann dies zum Beispiel mit $*^{(n)}$ notieren.



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Danjoco
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-25


Vielen Dank für die ausführliche und klare Antwort!
aber habs nicht wirklich verstanden...
wie soll mir das jetzt die gewünschten Klammerausdrücke der länge n liefern



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-25


2021-01-25 12:02 - Danjoco in Beitrag No. 2 schreibt:
wie soll mir das jetzt die gewünschten Klammerausdrücke der länge n liefern

Das ist keine präzise Frage. Daher kann ich dabei nicht weiterhelfen.

2021-01-25 15:34 - Danjoco in Beitrag No. 3 schreibt:
wie kann ich mit dieser Definition das allgemeine assoziativgesetz beweisen

Bitte poste die vollständige Aufgabenstellung. Offenbar soll nun $*$ assoziativ sein? Was ist bei euch das allgemeine Assoziativgesetz?

wie mir das z.b. einen Klammerausdruck der länge 4 liefern soll..

Zum Beispiel ist $a * (b * (c * d))$ ein solcher Ausdruck, aber auch $(a * b) * (c * d)$ und $((a * b) * c) * d$ zum Beispiel.



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Danjoco
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-25


@Triceratops..
ok, da war ich schon ein wenig gestresst (seit 6 Uhr am lernen und keinen Kaffee getrunken..), einen Klammerausdruck der länge n würde ich dann, falls $k+l=n$ ist durch $f(k)*f(l)$ definieren, soweit ich das jetzt verstanden habe.
Dann wäre das allgemeine assoziativ gesetzt, dass für jedes n mit $n>1$ die jeweilige Klammerausdrücke übereinstimmen.( also falls die Verknüpfung * assoziativ ist)
Was dann schnell durch Induktion gelöst werden kann.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-26


Was soll denn das $f(k)$ in deiner Formel bedeuten?

Aber von der Idee her ist das schon richtig, nur dass die Induktion nicht ganz so einfach ist, wie man es zunächst denkt, wenn man sich alles im Detail überlegen möchte.

Vor diesem Hintergrund ist auch die Definition im Themenstart etwas plausibler, nur dass sie anders formuliert werden muss. Es müsste dort gesagt werden, dass man ausgehend (!) von einer $i$-stelligen Verknüpfung $Q$ und einer $j$-stelligen Verknüpfung $\tilde{Q}$ eine $i+j$-stellige Verknüpfung konstruieren kann. Außerdem hat man die Identität als unäre Verknüpfung und die (offenbar nun als assoziativ vorausgesetzte) binäre Verknüpfung $*$ gegeben. Das allgemeine Assoziativgesetz sagt nun aus, dass für jedes $n \geq 1$ die damit rekursiv konstruierten $n$-stelligen Verknüpfungen identisch sind. Zum Beispiel

$a * (((b * c) * d) * e) = ((a * b) * (c * d)) * e$



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Danjoco
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27


Ok also, dass allgemeine assoziativgesetz sagt ja jetzt so was aus wie :
$*^{(l+k)}(a_1,...,a_{l+k})=(*^{(l)}(a_1,...,a_l))*(*^{(k)}(a_{l+1}...,a_{l+k}))$
Jetzt weiß ich ja, dass der linke Ausdruck wohldefiniert ist(du hattest ihn ja in einem vorherigen Kommentar rekursiv definiert).
Jetzt bleibt nur noch zu zeigen, dass dies auch für den rechten Ausdruck zutrifft(*edit: ist klar).
Wie könnte man das bewerkstelligen ?
(falls die Idee überhaupt richtig ist)



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-27


Es geht nicht darum, ob diese Terme wohldefiniert sind (natürlich sind sie es), sondern zu zeigen, dass diese Gleichung tatsächlich gilt. Ich würde erst einmal den Spezialfall k = 1 behandeln, dafür gilt die Gleichung per Definition. Danach ggf. Doppelinduktion.



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Danjoco
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27


Naja für $k=1$ ist nichts zu zeigen, weil das ja einfach unserer Definition entspricht.
Angenommen  $k>1$ und die zu beweisende aussage gilt für $k-1$.
Dann gilt:
$*^{(l+k)}(a_1,..,a_{l+k})=(*^{(l+k-1)}(a_1,..,a_{l+k-1}))*(a_{l+k})$
$=((*^{(l)}(a_1,..,a_{l}))*(*^{(k-1)}(a_{l+1},..,a_{l+k-1})))*(a_{l+k})$
$=(*^{(l)}(a_1,..,a_{l}))*((*^{(k-1)}(a_{l+1},..,a_{l+k-1}))*(a_{l+k}))$
$=(*^{(l)}(a_1,..,a_{l}))*(*^{(k)}(a_{l+1},..,a_{l+k}))$
Denke, dass das so passt.
Wir wollen doch jetzt n-stellige innere Verknüpfungen definieren, soweit ich das verstehe.
Was wir ja jetzt gemacht haben, ist eine n-stellige innere Standardverknüpfung definiert.
Wie definieren wir jetzt eben die n-stelligen Verknüpfungen



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-27


Das passt so. Mit diesem Resultat kannst du nun zeigen, dass für jede nach dem oben beschriebenen Verfahren aus $*$ konstruierte $n$-stellige Verknüpung $P$ bereits $P = *^{(n)}$ gilt (und daher $P$ eindeutig ist).

Wenn $n=1$, ist das klar, und wenn $n > 1$, ist $n = i + j$ mit $i,j \geq 1$ derart, dass $P$ aus einer $i$-stelligen Verknüpfung und einer $j$-stelligen Verknüpfung entsteht. Wende auf diese nun die Induktionsannahme an, und anschließend die bereits von dir bewiesene Aussage über Standardverknüpfungen.



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Danjoco
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ich muss dir ehrlich sagen, ich sehe nur dass das verfahren mir Standardverknüpfungen liefert.
vllt kannst du mich irgendwie erleuchten



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Triceratops
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Das habe ich doch gerade eben im vorigen Beitrag beschrieben.

Schreibe bitte genau auf, was du bisher probiert hast, und stelle bitte konkretere Fragen.



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