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| Autor |
 Matrizenvektorraum nach K^n |
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EinsPlusEinsIstNull
Junior 
Dabei seit: 09.01.2021
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2021-01-25
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Hallo zusammen,
ich habe da mal eine Verständnisfrage.
Eigentlich ist es klar das der R-Vektorraum der 2x2 Matrizen vierdimensional ist und mit folgenden Basis beschrieben werden kann.
\
A_11 = (1,0;0,0); A_12 = (0,1;0,0); A_21 = (0,0;1,0); A_22 = (0,0;0,1)
Ich frage mich doch nun schon eine Weile wie ich rechnerisch von dem Vektorraum in den \(K^4\) komme.
Also nehmen wir bspw. diese Abbildung:
\
(a,b;c,d) -> 0,5(a,b;c,d)+ 0,5 (b,a;d,c)
Mir ist klar wenn ich die Abbildung in Spaltenvektoren schreibe:
\
(a;b;c;d) -> 0,5(a;b;c;d)+ 0,5 (b;a;d;c)
und nun die Darstellende Matrix berechne:
\
(1;0;0;0 ) -> 0,5(1;0;0;0)+ 0,5 (0;1;0;0)
(0;1;0;0;) -> 0,5(1;0;0;0)+ 0,5 (0;1;0;0)
(0;0;1;0) -> 0,5(0;0;1;0)+ 0,5 (0;0;0;1)
(0;0;0;1) -> 0,5(0;0;1;0)+ 0,5 (0;0;0;1)
dass dann diese Matrix herauskommt:
\
0,5(1,1,0,0;1,1,0,0;0,0,1,1;0,0,1,1)
Meine Frage an der Stelle ist. Wie bekomme ich den Zusammenhang zwischen der 2x2 Matrix zu dem Spaltenvektor hin? Wie könnte denn so eine Abbildung aussehen? Also die Frae ist wie komme ich bei diesem Vektorraum in den K^n?
Danke im Voraus.
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3806
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-25
|
Hallo,
du kannst doch immer das $i$-te Basiselement des einen Vektorraums auf das $i$-te Standardbasiselement des anderen Vektorraums abbilden, dann hast du
\[
f\colon\mathbb{R}^{2\times 2}\to\mathbb{R}^4, \ \begin{pmatrix}
a & b\\ c&d
\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}
a \\ b\\ c\\d
\end{pmatrix}
\]
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EinsPlusEinsIstNull
Junior
Dabei seit: 09.01.2021
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26
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\quoteon(2021-01-25 20:36 - ochen in Beitrag No. 1)
Hallo,
du kannst doch immer das $i$-te Basiselement des einen Vektorraums auf das $i$-te Standardbasiselement des anderen Vektorraums abbilden, dann hast du
\[
f\colon\mathbb{R}^{2\times 2}\to\mathbb{R}^4, \ \begin{pmatrix}
a & b\\ c&d
\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}
a \\ b\\ c\\d
\end{pmatrix}
\]
\quoteoff
Ja die Abbildung ergibt natürlich Sinn. Ich frage mich wie hier dann eine Abbildungsmatrix aussehen würde.
Laut Skript geht das folgendermaßen:
T(b_m)=sum((T_C)^B c_n,n=1,N)
Das wäre hier dann für die Basis \(b_m\) von oben und \(c_n\) die Standardbasis des \(K^4\):
\
T((1,0;0,0)) = (1,0;0,0) = ((T_C)^B )_(1,1) (1;0;0;0)
Aber das passt doch von den Dimensionen überhaupt nicht zusammen.
Also ich stelle mir hier das kommutative Diagramm vor: Da gehe ich ja mit der Basis B von meinem Urraum V (hier die Basis ganz oben) in den Zielraum (W) mit der Standardbasis A.
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ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3806
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-26
|
Hallo,
du musst die darstellende Matrix einer linearen Abbildung immer bezüglich einer fest gewählten Basis des Urbildraums und einer fest gewählten Basis des Bildraums betrachten.
Wenn das $i$-te Element der Basis des Urbildraums auf das $i$-te Element der Basis des Bildraums abgebildet wird, ergibt sich die Einheitsmatrix.
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| EinsPlusEinsIstNull hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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