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| Autor |
  Mengenhalbring |
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All-goa-rhythmus
Aktiv 
Dabei seit: 11.09.2004
Mitteilungen: 520
Wohnort: Zürich
 |  Themenstart: 2004-10-17
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Hallo
In einem (Mengen-) Halbring wird u.a. definiert:
A, B \el\ S => A - B = sum(C_k,k=1,n), wobei die C_k paarweise
fremde Mengen aus S sind.
Ich setze im Mengenhalbring die Differenz mit der Multiplikation im algebraischen Halbring gleich. In einem Halbring gilt aber das Assoziativgesetz und das ist für A-B:= A\B nicht gültig. Wie erklärt sich dieser Widerspruch?
Besten Dank!
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 Profil
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46791
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.1, eingetragen 2004-10-17
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Hi All-goa-rhythmus,
hmm, das ist doch wohl keine Definition, sondern ein Lemma oder ein Satz.
Die Differenz als "Multiplikation" aufzufassen, ist keine brauchbare Idee, warum, hast du selbst festgestellt.
Es liegt also gar kein Widerspruch vor.
Könnte sein, in deinem Beitrag ist noch eine weitere Frage versteckt, ich finde aber keine.
Wenn so, dann stelle sie einfach nochmal.
Gruß Buri
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All-goa-rhythmus
Aktiv
Dabei seit: 11.09.2004
Mitteilungen: 520
Wohnort: Zürich
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2004-10-17
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Hallo Buri
Mein Problem ist, dass wir in einem Mengenhalbring zwei Verknüpfungen haben, die assoziativ sein müssen. Dass der Durchschnitt von Mengen assoziativ ist, ist klar. Bei der Differenz sehe ich dies allerings nicht ein.
Gruss und Danke
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46791
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.3, eingetragen 2004-10-17
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Hi All-goa-rhythmus,
das ist kein Wunder, daß du das nicht einsiehst, denn es stimmt ja auch nicht.
Die zwei Operationen, die die Halbringstruktur definieren, müssen nicht nur assoziativ sein, sondern auch das Distributivgesetz erfüllen. Diese Operationen sind der Durchschnitt und die symmetrische Differenz, also ganz wohlbestimmte Operationen zwischen Mengen.
Warum man hier "Halbring" sagt, ist mir übrigens unklar, es ist ein Ring (mit einer Multiplikations- und einer Additions-Operation) in dem üblichen Sinn, den man (in der Algebra) diesem Wort gibt.
Ein Boolescher Ring ist das, könnte man ergänzend hinzufügen, das ist nach Definition ein Ring, in dem A * A = A für jedes Element A gilt und außerdem (was eine Folgerung ist) A + A = 0 für jedes Element A, wobei 0 (das neutrale Element der Addition) hier die leere Menge ist, und das Zeichen "+" die symmetrische Differenz zweier Mengen ist.
Jeder Boolesche Ring ist kommutativ: A * B = B * A, das ist eine beliebte, auch auf dem Matheplaneten schon oft behandelte Übungsaufgabe.
Die Differenz A \ B ist auch eine wichtige Operation, nur ist sie eben nicht assoziativ.
Bemerkenswert ist aber, daß man den Durchschnitt mit Hilfe der Differenz ausdrücken kann, denn
A\cut\ B=A \\ (A \\ B).
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 2004-10-17 18:32 ]
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Gockel
Senior
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25548
Wohnort: Jena
 | Beitrag No.4, eingetragen 2004-10-17
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Kann es sein, dass vielleicht die symmetrische Differenz da gehen würde? War das nicht so, dass die assoziativ war? könnte man damit die zweite Verknüpfung realisieren?
mfg Gockel.
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