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Analysis » Topologie » Einführung in Einbettungen
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Beruf Einführung in Einbettungen
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-27


Hallo zusammen,

Nun ist bekannt dass ich in mittlerer Zukunft eine Studentenarbeit über
Einbettungen schreiben soll.

Der Begriff "Einbettung" ist uns im bisherigen Studium immer mal wieder am Rand begegnet, aber eine sorgfältige Einführung gab es nie.

Auch Wikipedia fasst sich kurz.
Wenn ich bei Google nach "Einbettungen" suche, dann kommen gleich mehrere Seiten, welche wörtlich dasselbe schreiben wie Wikipedia.
Dies gilt selbst für Beiträge auf Matheplanet.

Kennt jemand ein gutes Buch/Skript, welches mir einen guten überblick verschafft?

Es darf auch umfassend sein. Ich nehme mir gerne Zeit dafür.




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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27


Eine Frage möchte ich schon mal vorwegnehmen.

Nun habe ich endlich eine Definition für die Einbettung gefunden.
Dort ist eine Einbettung immer eine Abbildung zwischen topologischen Räumen. Gleichzeitig wurde dieser MP-Beitrag ins Unterforum "Topologie" verschoben.

Auf Wikipedia wird für die Definition zwischen den verschiedenen mathematischen Teilgebieten unterschieden.
Da ist Topologie nur eines von mehreren genannten mathematischen Teilgebieten.

Frage: Bezieht sich eine Einbettung immer auf Topologische Räume oder kann man den Begriff auch viel allgemeiner definieren?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-29


Hi sulky,

der Begriff ist weit gefasst und manchmal wird nicht genau definiert was genau man meint (da es aus dem Kontext schon klar ist).

Normalerweise bezeichnet man mit einer Einbettung eine (schöne) injektive Abbildung (bzw. einen Monomorphismus in der jeweiligen Kategorie). Oft ist das einfach ein Synonym für Monomorphismus/injektive Funktion.

Man bettet quasi ein kleines Objekt in ein größeres Objekt ein. Du hast bereits den Begriff aus der Topologie kennengelernt (ähnliches findet man entsprechend auch in anderen geometrischen Kategorien). Auch in der Algebra spricht man z.B. davon, dass man einen Modul in einen anderen Modul einbetten, oder einen Körper in einen anderen Körper, oder...

Entsprechend finde ich die Themenstellung deiner Studentenarbeit auch merkwürdig. Das wurde das sicher genauer gefasst als nur mit "Einbettungen"?

Es gibt (meines Wissens nach) keine Bücher, die sich speziell mit "Einbettungen" befassen, stattdessen beschäftigt man sich eben in jedem einzelnen Gebiet mit dem Begriff des Monomorphismus. Als Literatur solltest du also eher die gesamte Mathematik, die du bisher gelernt hast, nehmen.


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-29


@Kezer: Üblicherweise meint man mit 'Einbettung' etwas stärkeres als einen Monomorphismus. Das wird bereits bei der Kategorie der topologischen Räume klar. Siehe etwa den Abschnitt "Embeddings" (Seite 133) in The Joy of Cats.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-30


Deshalb habe ich „schöne“ in Klammer gesetzt. Ich bin aber schon oft (z.B. umgangssprachlich in Vorlesungen) dem Begriff der Einbettung als Monomorphismus begegnet.


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-31


Hallo Kezer und Triceratops,

Ich vermute schon, dass es nicht dabei bleibt eine Arbeit über "Einbettungen" zu schreiben, sondern dass die Themenbeschreibung noch verfeinert wird.

Aufgrund von Texten die mir der Prof zwischenzeitlich gegeben hat rieche ich schon ein wenig worum es geht.

Vor wenigen Tagen haben wir "wahrscheinlichkeit und Modellierung" abgeschlossen. Darin waren Diskrete Markovketten ein Kapitel.
Zusätzlich hat mir der Prof jetzt Texte zu kontinuierlichen  Markovketten gegeben.

Nun vermute ich, dass es daum gehen wird dass man Diskrete MK als Teile von kontinuierlichen MK betrachten kann.


Interessant ist, dass unter dem Stichwort "Einbettungen" immer wieder dieselben Beispiele kommen, diese sind: Topologie, Differentialtopologie, Differentialgeometrie und Körpertheorie.
Was aber ist mit der Stochastik?

Habt ihr ein (möglichst einfaches) Beispiel  einer Einbettung wo man damit ein Problem lösen kann, dass man sonst nicht lösen könnte, oder sonst viel schwieriger zu lösen wäre?



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-31


Im prinzip ist ja bei jeder Untermenge $M\subseteq \Omega$
die identitätsabbildung $Id:M\to \Omega$,  $x \mapsto x$
eine Einbettung.

Aber abgesehen von der mathematischen Definition verstehe ich die Motovation nicht.


2021-01-29 19:43 - Kezer in Beitrag No. 2 schreibt:
Es gibt (meines Wissens nach) keine Bücher, die sich speziell mit "Einbettungen" befassen,


Dies sieht unser Professor eben auch so. Deshalb lässt er mich dieses Buch schreiben. -Blödsinn- Wenn, dann wäre dies mindestens eine Doktorarbeit und nicht eine 6 etcs Studetenarbeit



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-31


2021-01-31 01:48 - sulky in Beitrag No. 5 schreibt:
Interessant ist, dass unter dem Stichwort "Einbettungen" immer wieder dieselben Beispiele kommen, diese sind: Topologie, Differentialtopologie, Differentialgeometrie und Körpertheorie.
Was aber ist mit der Stochastik?

Schon im Wikipedia-Artikel zu Markow-Ketten gibt es einen Abschnitt zu embedded Markov chains und auch eine Google-Suche zu diesen Stichwörtern liefert eine beträchtliche Menge an Fundstellen.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-31


Nun habe ich auf Wikipedia ausschliesslich über Einbettungen gelesen.
über Markovketten habe ich vom Professor so viel material bekommen, dass ich bestimmt nicht im Internet nach noch mehr suchte.

Das ist sehr hilfreich.

Vielen Dank für den Tipp Zippy



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-05


Hallo Zusammen,

Nun habe ich eine konkrete Frage:

Der Struktursatz beschreibt wie man aus den Eigenschaften einer
Zeitkontinuierlichen Markovkette eine Diskrete Markovkette konstruieren kann.

Die dadurch entstandene Diskrete Markovkette nennt man dann "die der Zeitstetigen MK eingebettete" Markovkette.


Soweit ist dies verständlich. Aber ich bringe es nicht unter einen Hut mit der Definition einer Einbettung auf Wikipedia.
Allerdings unterscheidet Wikipedia zwischen Topologie, Diffferentialtopologie, Differentialgeometrie, und Körpertheorie.

Von Marovketten steht da gar nichts.

Bei der Einbettung einer Diskreten MK in eine Zeitstetige, wo genau ist jetzt da der Homöomporphismus von der Diskreten MK auf die Zeitstetige?

Ich kann das nicht in Zusammenhang bringen.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-02-05


2021-02-05 12:25 - sulky in Beitrag No. 9 schreibt:
Aber ich bringe es nicht unter einen Hut mit der Definition einer Einbettung auf Wikipedia.

Du kannst aus dem Wikipedia-Artikel zum Stichwort "Einbettung (Mathematik)" keine in der gesamten Mathematik gültige Definition dieses Begriffes herauslesen. Der Artikel ist für das Verständnis von eingebetteten Markow-Ketten ähnlich hilfreich wir der über den bulgarischen Gewichtheber Markow.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-05


Also doch.
Aber ich bin froh, dass du mir dies bestätigt hast.

So ganz genau wurde mir noch nicht gesagt was meine Aufgabe sein wird.
Aber aufgrund der Bücher, welche ich vom professor bekommen habe bekomme ich den Eindruck dass es hauptsächlich darum geht, Generatoren zu finden. d.H.
Matrizen zu finden, welche

$P=e^Q$

erfüllen.


Ich habe noch nie in Mathematik selbständig eine Arbeit geschrieben und diese vorgetragen.

Was kann man da überhaupt machen? Als Ingenieur war dies irgendwie klarer.
Da muss man ein Bauteil konstruieren, welches in der Industrie wirklich benötigt wird. Dabei arbeitet man nach einem Pfichtenheft.

In der Mathematik kann man ja nicht von mir verlangen, dass ich ein Problem löse, welches noch nciht gelöst ist.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2021-02-07


2021-02-05 23:17 - sulky in Beitrag No. 11 schreibt:
Was kann man da überhaupt machen?

Frag deinen Professor, was er erwartet, das ist von Arbeit zu Arbeit verschieden. Wahrscheinlich sollst du dich nur über bereits bekannte Theorie einlesen und das verständlich und schlüssig aufschreiben.


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Hallo Kezer,

Ja, ich denke auch dass gar nicht besonders viel verlangt ist.
Zu bemerken dass es sich um eine 6 etcs Studentenarbeit handelt und nicht um eine Master- oder Doktorarbeit.

Dennoch, ich kann mir nicht vorstellen, dass der allereinfachste Beweis verlangt werden kann, den ich nicht sowieso im Internet finden werde.



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