Meine Aufgabestellung kurzgefast: Es geht um Überbuchungen von Flügen.
Es wird angenommen, dass die Personen tatsächlich zum Flug mit Wahrscheinlichkeit p = 0,95 erscheinen. D.h., dass mit WSK q = 0,05 die Personen den Flug stornieren. Außerdem wird angenommen, dass die Passagiere unabhängig am Zielort erscheinen. Airline bucht deshalb mehr, als es Plätze im Flieger gibt. Der Flug kostet a = 300 Euro. Die Entschädigung für die Personen, welche keinen Platz im Flieger bekommen, beträgt b = 500 Euro. Gefragt ist Anzahl der Plätze, welche die Airline verkaufen soll, um den Gewinn zu maximieren (Flieger hat 124 Plätze).

Ich denke, die Aufgabe ist mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes zu lösen, aber bei Berechnung stoße ich auf ein Problem.

Seien  X_i =\chi_{die i-te Person tritt den Flug an}. Aus der Voraussetzung weiß man, dass die Personen unabhängig am platz erscheinen. Außerdem sind die X_i Bernoulli verteilt,  mit Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,95 und Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1- p = 0,05.

Dementsprechend Bezeichne ich S_n = X_1+ ... + X_n, Erwartungswert \IE[S_n]=n*0,95, Varianz \IV(S_n)=n*0,95*0,05 = n*0,0475<\inf, n\el\ \IN.


Mit dem Zentralen Grenzwertsatz ist: 

\IP(S_n>124)=\IP((S_n-\IE(S_n))/sqrt(\IV(S_n))>(124-\IE(S_n))/sqrt(\IV(S_n))

= 1-\IP((S_n-\IE(S_n))/sqrt(\IV(S_n))<=(124-\IE(S_n))/sqrt(\IV(S_n))
=1-\IP((S_n-n*0,95)/sqrt(n*0,0475)<=(124-n*0,95)/sqrt(n*0,0475))

Mit dem Zentralen Grenzwertsatz ist: 

\approx\ 1-\Phi((124-n*0,95)/sqrt(n*0,0475)

Ab hier weiß ich nicht ganz, wie ich n bestimmen kann. Vermutlich müsste ich a = 300 Euro und b =500 Euro irgendwie einbeziehen. Solche ähnliche Aufgaben hatte ich bereits gemacht, aber dort war immer der Überbuchungswahrscheinlichkeit angegeben. Hier weiß ich nicht genau, wie wahrscheinlich zur einer Überbuchung überhaupt kommt.