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 Überbuchung |
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rusMat
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Hallo zusammen,
  
Meine Aufgabestellung kurzgefast: Es geht um Überbuchungen von Flügen. Es wird angenommen, dass die Personen tatsächlich zum Flug mit Wahrscheinlichkeit p = 0,95 erscheinen. D.h., dass mit WSK q = 0,05 die Personen den Flug stornieren. Außerdem wird angenommen, dass die Passagiere unabhängig am Zielort erscheinen. Airline bucht deshalb mehr, als es Plätze im Flieger gibt. Der Flug kostet a = 300 Euro. Die Entschädigung für die Personen, welche keinen Platz im Flieger bekommen, beträgt b = 500 Euro. Gefragt ist Anzahl der Plätze, welche die Airline verkaufen soll, um den Gewinn zu maximieren (Flieger hat 124 Plätze). Ich denke, die Aufgabe ist mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes zu lösen, aber bei Berechnung stoße ich auf ein Problem. Seien X_i =\chi_{die i-te Person tritt den Flug an}. Aus der Voraussetzung weiß man, dass die Personen unabhängig am platz erscheinen. Außerdem sind die X_i Bernoulli verteilt, mit Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,95 und Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1- p = 0,05. Dementsprechend Bezeichne ich S_n = X_1+ ... + X_n, Erwartungswert \IE[S_n]=n*0,95, Varianz \IV(S_n)=n*0,95*0,05 = n*0,0475<\inf, n\el\ \IN. Mit dem Zentralen Grenzwertsatz ist: \IP(S_n>124)=\IP((S_n-\IE(S_n))/sqrt(\IV(S_n))>(124-\IE(S_n))/sqrt(\IV(S_n)) = 1-\IP((S_n-\IE(S_n))/sqrt(\IV(S_n))<=(124-\IE(S_n))/sqrt(\IV(S_n)) =1-\IP((S_n-n*0,95)/sqrt(n*0,0475)<=(124-n*0,95)/sqrt(n*0,0475)) Mit dem Zentralen Grenzwertsatz ist: \approx\ 1-\Phi((124-n*0,95)/sqrt(n*0,0475) Ab hier weiß ich nicht ganz, wie ich n bestimmen kann. Vermutlich müsste ich a = 300 Euro und b =500 Euro irgendwie einbeziehen. Solche ähnliche Aufgaben hatte ich bereits gemacht, aber dort war immer der Überbuchungswahrscheinlichkeit angegeben. Hier weiß ich nicht genau, wie wahrscheinlich zur einer Überbuchung überhaupt kommt.
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Diophant
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-27
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Hallo,
hm. Mir erscheint es hier sinnvoller, eine Zufallsvariable einzuführen, welche die möglichen Einnahmen für einen solchen Flug modelliert (in Abhängigkeit von der Anzahl der verkauften Tickets).
Für diese ZV benötigst du den Erwartungswert. Und den gilt es dann, zu maximieren.
Ob man das jetzt per Binomialverteilung oder durch eine Normalverteilung approximiert angeht, das wirst du aus dem Kontext heraus am besten wissen.
Gruß, Diophant
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rusMat
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27
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Vielen Dank für die Antwort.
D.h. man könnte zum Beispiel Z definieren, sodass Z=300*n*0,95=285*n der zu Erwarteter Gewinn solange noch Plätze im Flieger gibt? Und wenn n*p>124 ist, dann müsste man die Entschädigung abziehen.
Was meinen Sie mit der Binomialapproximation? Ich dachte, da das Thema primär Grenzwertsatz ist, sollte man sich auf diese Art diese Aufgabe lösen können.
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
nein. Wenn \(X\) die (binomialverteilte!) Zufallsvriable ist, die beschreibt, wie viele Passagiere ihren Flug antreten, dann ist
\[Z:=\bc 300\cdot X\quad&,\quad x\le 124\\300\cdot X-500\cdot (X-124)\quad&,\quad x> 124\ec\]
die fragliche Zufallsvariable für die Gesamteinnahmen bei einem Flug.
(Dabei muss man ja bedenken, dass jeder sein Ticket bezahlt hat, auch die, die nicht mitfliegen können.)
2021-01-27 19:45 - rusMat in Beitrag No. 2 schreibt:
Was meinen Sie mit der Binomialapproximation? Ich dachte, da das Thema primär Grenzwertsatz ist, sollte man sich auf diese Art diese Aufgabe lösen können. \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Wie gesagt: die Anzahl der Fluggäste, die ihren Flug antreten wollen, ist binomialverteilt. Wenn es aber bei euch gerade Thema ist, dann ist der Weg über den zentralen Grenzwertsatz ja sicherlich der vorgesehene. Das sieht man ja einer solchen Aufgabe nicht unmittelbar an. 🙂
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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rusMat
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27
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Ja, ich habe auch so in die Richtung gedacht, wusste nicht wie am besten es zusammenfassen kann.
Also der Erwartungswert wäre im Falle n<=124 dann E[X]=285n und im Falle n>124 dann E[X]=285n-475n+62000 oder?
Irgendwie habe ich den Faden verloren, wie ich hier den ZGWS verwenden soll. Vielleicht wäre die andere Methode Sinnvoller.
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Diophant
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
ganz ehrlich: du solltest dir die Aufgabenstellung erst einmal gründlich zu Gemüte führen. Mir sieht das nicht so aus, also ob du die Fragestellung schon gedanklich durchdrungen hättest.
2021-01-27 20:15 - rusMat in Beitrag No. 4 schreibt:
Ja, ich habe auch so in die Richtung gedacht, wusste nicht wie am besten es zusammenfassen kann.
Also der Erwartungswert wäre im Falle n<=124 dann E[X]=285n und im Falle n>124 dann E[X]=285n-475n+62000 oder? \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Nein, das geht völlig an der Sache vorbei. Außerdem bräuchten wir (theoretisch) den Erwartungswert meiner obigen Zufallsvariablen \(Z\).
Wobei mir da noch eine Vereinfachung eingefallen ist: letztendlich wäre es ja für die Fluggesellschaft optimal, wenn genau 124 Passagiere den Flug antreten wollen. Also könnte man einfach sagen, man wählt n so, dass \(E[X]\) möglichst nahe bei 124 liegt.
(Wobei ich jetzt durchgehend \(X\): Anzahl der Passagiere, die den Flug antreten wollen meine.)
2021-01-27 20:15 - rusMat in Beitrag No. 4 schreibt:
Irgendwie habe ich den Faden verloren, wie ich hier den ZGWS verwenden soll. Vielleicht wäre die andere Methode Sinnvoller. \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Du bringst hier zwei Dinge durcheinander. Was du mit 'ZGWS' meinst ist ja nicht anderes als eine Approximation einer Binomial- durch eine Normalverteilung. Da musst du dich nochmal damit auseinandersetzen. Außerdem ist das hier nur eine technische Frage, wie man jetzt konkret mit den auftretenden Wahrscheinlichkeiten rechnet bzw. welche Verteilung man zugrunde legt.
Mit der Modellierung der eigentlichen Aufgabe hat diese Frage erst einmal rein gar nichts zu tun!
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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rusMat
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27
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Also wenn n ungefähr bei 130,5 ist, so würde man auf den Erwartungswert E[X] nahe 124 kommen. Aber irgendwie bringt es nichts. Vermutlich muss ich die Aufgabe besser verstehen, da habe ich gewisse Schwierigkeiten momentan habe.
LG, rusMat
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Diophant
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
doch: wenn du diese vereinfachte Möglichkeit akzeptierst*, dann war es das schon fast. Du musst dich jetzt halt noch zwischen \(n=130\) und \(n=131\) entscheiden.
Bedenke einmal: für jedes verkaufte Ticket bekommt die Fluggesellschaft 300 Euro. Auch für die, die nicht genutzt werden können. Die Käufer der letzteren müssen aber mit 500 Euro entschädigt werden, was unterm Strich pro Ticket ein Minus von 200 Euro macht.
Liegt der Wert der Zufallsvariablen \(X\) unterhalb von 124, dann sind die Einnahmen maximal, sofern mindestens 124 Tickets verkauft wurden (und davon geht die Aufgabenstellung ja aus). Liegt er darüber, dann gehen die Einnahmen aus den genannten Gründen wieder zurück.
Also sollte eine maximale Anzahl an Tickets verkauft werden, so dass der Erwartungswert nahe genug bei 124 liegt.
Das ist so in groben Zügen die Idee hinter meinem Ansatz.
* Je mehr ich darüber nachdenke, glaube ich, dass genau dieser Ansatz angedacht ist. Denn der Erwartunsgwert von Z aus Beitrag #3 hat es (vermutlich) in sich...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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rusMat
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27
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Danke für den Tipp.
solange man 130 Tickets reserviert, geht nichts schief (da 95% der Passagiere immer vor dem Flug antreten, hätte man 124 Passagiere für genau 124 Plätze). Dementsprechend ist Gewinn maximal. Nun müsste ich schauen, was passiert, wenn ab der 131-ten Personen doch am Flughafen erscheint, der ein Ticket hat, und davon die WSK berechnen?
LG rusMat
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Diophant
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-28
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo rusMmat,
2021-01-27 22:25 - rusMat in Beitrag No. 8 schreibt:
solange man 130 Tickets reserviert, geht nichts schief (da 95% der Passagiere immer vor dem Flug antreten, hätte man 124 Passagiere für genau 124 Plätze)... \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
nein, ich glaube, dir sind da die grundlegenden Begrifflichkeiten rund um Verteilungen noch nicht so ganz klar?
Ich versuche nochmal, meinen vereinfachten Ansatz zu erläutern.
Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist derjenige Wert, den man langfristig im Mittel erwartet, wenn man ein Experiment oft genug unter den gleichen Bedingungen durchführt. Mit unserer Wahl wird also die Anzahl der Passagiere, die den Flug wirklich antreten, im Durchschnitt bei 124 liegen, was aber auf den einzelne Flug bezogen noch überhaupt nichts aussagt.
Nun ist das Problem, wie ich schon mehrfach angesprochen habe, binomialverteilt (damit meint man, dass für jeden Passagier die Frage, ob er den Flug antritt oder nicht, bernoulliverteilt ist, wie du es ja im Themenstart angegeben hast). Und die Binomialverteilung hat die praktische Eigenschaft, dass ihr Modus* entweder gleich dem Erwartungswert ist (wenn dieser ganzzahlig ist), oder jedenfalls in der unmittelbaren Nähe des Erwartunswerts liegt. Es ist also bei unserer Wahl tatsächlich der wahrscheinlichste von allen Fällen, dass die Anzahl der tatsächlich erschienenen Passagiere genau 124 ist.
2021-01-27 22:25 - rusMat in Beitrag No. 8 schreibt:
Nun müsste ich schauen, was passiert, wenn ab der 131-ten Personen doch am Flughafen erscheint, der ein Ticket hat, und davon die WSK berechnen? \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Nein. Wir müssen nur noch ausrechnen, ob der Erwartungswert für \(n=130\) oder für \(n=131\) näher an der \(124\) liegt. Schaffst du das alleine?
Mich würde jetzt doch einmal interessieren, in welchem Rahmen du diese Aufgabe gestellt bekommen hast und wie der Originaltext der kompletten Aufgabe lautet. Liege ich mit der Annahme richtig, dass es sich hier nur um eine Teilaufgabe einer größeren Aufgabenstellung handelt?
Gruß, Diophant
* Der Modus ist bei einer diskreten Verteilung derjenige Wert der Zufallsvariablen, der mit der größten Wahrscheinlichkeit auftritt.\(\endgroup\)
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rusMat
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-28
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Hallo,
Die Aufgabe hatte ich in meinen alten Übungsunterlagen gefunden. Es beinhaltet zwar eine Teilaufgabe, aber dort soll man das ganze für andere Anzahl der Sitze bestimmen.
Ja, das stimmt, dass ich bereits erwähnt habe, dass einzelnes Erscheinen der Passagiere Bernouli-Verteilt mit dem Parameter p = 0,95 ist. Die Summe aller dieser unabhängigen und identischen Zufallsvariablen (Ich nenne einfach X_i) ist nichts anderes, als Binomialverteilung mit Parameter n und p = 0,95.
LG rusMAt
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-01-28
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Hallo,
ok, das ist ja nun zweimal der gleiche Aufgabentyp. Allerdings ist die Formulierung mit dem Gewinn und den Verlusten eine andere als im Themenstart.
Im Rahmen was für einer Lehrveranstaltung wurde diese Aufgabe denn gestellt? Wenn es da um eine Grundlagenvorlesung geht, dann würde ich dabei bleiben, das der besprochene Ansatz gemeint war.
Hast du denn jetzt noch Fragen zu der Aufgabe?
Gruß, Diophant
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rusMat
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-28
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Das ist eine Grundlagenvorleung zur Wahrscheinlichkeitstheorie und math. Statistik. Ich denke, dieser Ansatz würde ausreichen.
Habe noch das Problem, wie man es am besten Formal aufschreiben kann? Ich weiß, dass n ungefähr bei 130,5 liegt (Hier weiß ich nicht, wie ich mich entscheiden kann, ob 130 oder 131 am besten ist, bzw. wie ich n bestimmen kann, so dass E = 124).
Soll ich erstmal annehmen, dass die Fluggesellschaft 131 bzw. 130 Tickets mit Risiko bucht und vergleichen?
LG rusMat
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| Beitrag No.13, eingetragen 2021-01-28
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Hallo,
2021-01-28 20:19 - rusMat in Beitrag No. 12 schreibt:
Das ist eine Grundlagenvorleung zur Wahrscheinlichkeitstheorie und math. Statistik. Ich denke, dieser Ansatz würde ausreichen. \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Ganz sicher bin ich mir da nicht. Habt ihr zufällig die folgende Faustregel gelernt, wann eine Approximation der Binomial- durch eine Normalverteilung in guter Näherung möglich ist? Ich meine die folgende Regel:
\[n\cdot p\cdot (1-p)>9\]
Falls ja: dann wäre unsere Vorgehensweise für die Teilaufgabe a) richtig. Für die b) könnte es jedoch sein, dass man tatsächlich über den zentralen Grenzwertsatz gehen soll (da hier obiges Kirterium erfüllt wäre). Mein Problem ist hier einfach, dass ich speziell bei dieser Fragstellung (noch) nicht sehe, inwiefern sich die Rechnung dadurch irgendwie wesentlich ändert.
Vielleicht übersehe ich hier aber auch etwas...
2021-01-28 20:19 - rusMat in Beitrag No. 12 schreibt:
Habe noch das Problem, wie man es am besten Formal aufschreiben kann? \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Für die a) einfach mit der Beziehung \(n\cdot p=\mu\) ausrechnen.
2021-01-28 20:19 - rusMat in Beitrag No. 12 schreibt:
Ich weiß, dass n ungefähr bei 130,5 liegt (Hier weiß ich nicht, wie ich mich entscheiden kann, ob 130 oder 131 am besten ist, bzw. wie ich n bestimmen kann, so dass E = 124).
Soll ich erstmal annehmen, dass die Fluggesellschaft 131 bzw. 130 Tickets mit Risiko bucht und vergleichen? \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Einfach für beide Werte den zugehörigen Erwartungswert ausrechnen und dasjenige \(n\) wählen, für welches dieser näher an der \(124\) liegt.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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rusMat
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-28
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tatsächlich kenne ich diese Faustregel :/ nicht, oder ich habe es übersehen.
Also wenn ich n = 130 wähle, ist E[X]=0,95*130 = 123,5
wenn ich n = 131 wähle, ist E[X] = 0,95*131 = 124,45. Ich denke dass n = 130 besser zu wählen ist.
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Diophant
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| Beitrag No.15, eingetragen 2021-01-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Hallo nochmal,
nein, da würde ich \(n=131\) wählen, da liegt der Erwartungwert etwas nähr an der 124.
Wie so etwas gerechnet werden kann, ohne zu solch einer Vereinfachung zu greifen wie wir das hier getan haben, kannst du in dieser Musterlösung sehen (Lösungen zu den Aufgabenteilen d und e).
Du kannst dort an der Lösung zu Teil e) sehen, dass unsere Vereinfachung hier nicht schlecht ist: sie würde in der dort besprochenen Aufgabe ebenfalls zur dort erhaltenen Lösung führen.
Ich würde das hier dann eigentlich gerne abschließen.
Es soll kein Vorwurf sein: aber für die Klärung solcher Fragen sollte man entweder selbst mit einem einigermaßen zielführenden Ansatz kommen, oder zumindest über den Kontext mehr Information bereitstellen. Es ist immer noch nicht klar gewordn, was alles Teil eurer Vorlesung war, insbesondere: was zur Lösung dieser Aufgabe vorausgesetzt werden kann. Das ist ja jetzt nicht weiter schlimm, es macht an dieser Stelle aus meiner Sicht nur keinen Sinn, hier noch weiterzumachen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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