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Analysis » Grenzwerte » Grenzwert Exponentialfunktion
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Universität/Hochschule J Grenzwert Exponentialfunktion
Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-27


Hallo,
ich stelle mir folgende Frage:
Konvergiert \((1+\frac{a_n}{n})^n\) für \(n \rightarrow \infty\) gegen \(e^a\), wenn \(a_n \rightarrow a\) gilt?

Falls \(\frac{n}{a_n} \rightarrow \infty\) gilt, kann ich die Aussage beweisen, in den anderen Fällen bin ich aber hoffnungslos verloren. Den Trivialfall der Nullfolge habe ich auch betrachtet, in diesem Falle ergibt sich ebenfalls \(e^0\).



Könnt ihr mir einen Ansatz oder einen Beweis liefern?

LG



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, wenn \( a_n\to a\) gilt, ist die Folge \( (a_n)\) beschränkt, und deine Bedingung ist erfüllt.

Wally
\(\endgroup\)


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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27


Ich bin gerade draufgekommen, dass \(\frac{n}{a_n} \rightarrow \infty\) stets gelten muss, wenn \(a_n\) konvergiert. Meine Fragstellung habe ich damit wohl selbst beantwortet.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27


Oh Wally, da warst du ein wenig schneller!
Danke trotzdem für deine Antwort.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-27


Ist doch besser, wenn es dir selbst eingefallen ist :)

Viele Grüße

Wally



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2021-01-27 18:39 - Nullring im Themenstart schreibt:
Falls \(\frac{n}{a_n} \rightarrow \infty\) gilt, kann ich die Aussage beweisen, in den anderen Fällen bin ich aber hoffnungslos verloren.

Aber damit hättest du es doch schon zur Hälfte. Denn dieser Bruch muss ja entwender gegen \(\infty\) oder gegen \(-\infty\) gehen, sonst wäre nämlich \(a_n\) divergent.

2021-01-27 18:39 - Nullring im Themenstart schreibt:
Den Trivialfall der Nullfolge habe ich auch betrachtet, in diesem Falle ergibt sich ebenfalls \(e\).

Da sollte dann aber der Grenzwert \(e^0=1\) sein.

Ich würde das so machen. Betrachte (für \(\varepsilon>0\))

\[\lim_{n\to{\infty}}\left(1+\frac{a\pm\varepsilon}{n}\right)^n\]
und verwende \(a_n\to a\).


Gruß, Diophant


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Grenzwerte' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27


Danke Diophant,mit ist aufgefallen, dass mein Beweis auch in dem Fall \(\frac{n}{a_n} \rightarrow -\infty\) funktioniert. Ich danke euch für euer Mitwirken.



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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27


Könntest du deinen Ansatz vielleicht kurz skizzieren, mir ist nicht ganz klar auf was du hinaus möchtest.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-01-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2021-01-27 19:03 - Nullring in Beitrag No. 7 schreibt:
Könntest du deinen Ansatz vielleicht kurz skizzieren, mir ist nicht ganz klar auf was du hinaus möchtest.

Da \(a_n\) konvergent mit Grenzwert \(a\) ist, liegen für jedes \(\varepsilon>0\) ab einem gewissen \(N_{\varepsilon}\) alle Folgenglieder mit \(n>N_{\varepsilon}\) in der Epsilon-Umgebung um \(a\). Die beiden Grenzwerte meines Terms wären ja

\[\lim_{n\to{\infty}}\left(1+\frac{a\pm\varepsilon}{n}\right)^n=e^{a\pm\varepsilon}=e^{\pm\varepsilon}\cdot e^a\]
Für \(\varepsilon\to 0\) geht aber \(e^{\pm\varepsilon}\to 1\), also muss der Grenzwert \(e^a\) sein (denn er muss ja stets im Intervall \(\left(e^{-\varepsilon}\cdot e^a,e^{\varepsilon\cdot e^a}\right)\) liegen).

(Dabei habe ich jetzt natürlich genaugenommen schonmal die strenge Monotonie der Exponentialfunktion ausgenutzt.)


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-03 14:16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2021-01-27 19:12 - Diophant in Beitrag No. 8 schreibt:
2021-01-27 19:03 - Nullring in Beitrag No. 7 schreibt:
Könntest du deinen Ansatz vielleicht kurz skizzieren, mir ist nicht ganz klar auf was du hinaus möchtest.

Da \(a_n\) konvergent mit Grenzwert \(a\) ist, liegen für jedes \(\varepsilon>0\) ab einem gewissen \(N_{\varepsilon}\) alle Folgenglieder mit \(n>N_{\varepsilon}\) in der Epsilon-Umgebung um \(a\). Die beiden Grenzwerte meines Terms wären ja

\[\lim_{n\to{\infty}}\left(1+\frac{a\pm\varepsilon}{n}\right)^n=e^{a\pm\varepsilon}=e^{\pm\varepsilon}\cdot e^a\]
Für \(\varepsilon\to 0\) geht aber \(e^{\pm\varepsilon}\to 1\), also muss der Grenzwert \(e^a\) sein (denn er muss ja stets im Intervall \(\left(e^{-\varepsilon}\cdot e^a,e^{\varepsilon\cdot e^a}\right)\) liegen).

(Dabei habe ich jetzt natürlich genaugenommen schonmal die strenge Monotonie der Exponentialfunktion ausgenutzt.)


Gruß, Diophant

Ich danke dir!
\(\endgroup\)


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