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Universität/Hochschule J Ein mehrdimensionales Integral
Phoensie
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  Themenstart: 2021-01-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\) Liebe Matheplanetarier Sei $A:=\{(x,y) \in \R^2 \mid y \geq 0\} \cap \{(x,y) \in \R^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1\}$ der Durchschnitt der oberen Halbebene mit der abgeschlossenen Einheitsdisk. Aufgabe. Berechne das Integral \[ \begin{align*} \int_A \sqrt{1 - x^2 - y^2} \mathrm{d}(x,y) \end{align*} \] und folgere, dass das Volumen der Einheitskugel des $\R^3$ genau $\frac{4 \pi}{3}$ beträgt. Mein Lösungsansatz. Ich transformiere die Integrationsdomäne mittels Polarkoordinaten und des Satzes von Fubini in ein iteriertes Integral: \[ \begin{align*} \int_A \sqrt{1 - x^2 - y^2} \mathrm{d}(x,y) = \int_0^1 \int_0^\pi \sqrt{1 - r^2\cos^2(\varphi) - r^2\sin^2(\varphi)} \mathrm{d}\varphi\mathrm{d}r \end{align*} \] Sofern ich mich beim Rechnen nicht vertan habe, kommt dann als Resultat $\frac{\pi^2}{4}$ raus. Wie aber folgt hieraus das Volumen der Einheitskugel des $\R^3$?🤔\(\endgroup\)


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-28

Hallo, die Funktionaldeterminante $r$ fehlt noch im Integranten.


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Phoensie
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \) Ja, stimmt! Dann kriege ich für das Integral den Wert $\frac{1}{3}\pi$, und weil das genau einen Viertel des Einheitskugelvolumens ausfüllt und diese symmetrisch ist, folgt also \[ \operatorname{Volumen}(\text{Einheitskugel}_{\R^3}) = 4 \int_A \sqrt{1-x^2-y^2} \mathrm{d}(x,y) = 4 \cdot \frac{1}{3}\pi = \frac{4 \pi}{3}. \] Danke dir.😄\(\endgroup\)


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