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Lineare Algebra » Vektorräume » Gerade dimensionaler Vektorraum
Autor
Universität/Hochschule Gerade dimensionaler Vektorraum
richi1504
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.01.2021
Mitteilungen: 3
  Themenstart: 2021-01-31

Hey ich bräuchte einmal Hilfe bei folgender Aufgabe: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54200_11-1.PNG Wenn mir jemand helfen könnte oder einen Ansatz verraten würde, wäre ich sehr dankbar. Richi

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zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4638
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-31

Um in 1. ein $L$ zu konstruieren, kannst du dich von 2. inspirieren lassen. Um in 1. zu aus der Existenz von $L$ etwas zu folgern, solltest du dir das charakteristische Polynom von $L$ anschauen. --zippy

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Triceratops
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-31

Am besten, man startet mit 2. Bei (a) brauchst du keinen Ansatz, man rechnet es einfach nach. Aussage (b) gilt für jeden $\IC$-Vektorraum: Man nehme sich eine $\IC$-Basis $B$ von $V$ und rechne einfach nach, dass $B \cup iB$ eine $\IR$-Basis von $V$ ist. Der Beweis schreibt sich von alleine hin (vgl. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805). Es gilt demnach $\dim_{\IR}(V) = 2 \cdot \dim_{\IC}(V)$. Nun zu Aufgabe 1. Wenn es ein $L \in L(V)$ mit $L^2=-\mathrm{id}$ gibt, liefert Aufgabe 2(b) direkt, dass $\dim_{\IR}(V)$ gerade ist. Wenn umgekehrt $\dim_{\IR}(V)$ gerade ist, etwa $\dim_{\IR}(V) = 2n$, dann ist $V \cong (\IR^2)^n$. Es reicht nun, das Problem [=so ein $L$ zu finden] für $\IR^2$ zu lösen (wieso?), aber für $\IR^2 \cong \IC$ fällt dir sicherlich ein Beispiel ein. Man braucht kein charakteristisches Polynom.

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