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Universität/Hochschule J Oberfläche mit Kugelkoordinaten berechnen
julian2000P
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  Themenstart: 2021-02-01

Hallo zusammen, ich soll in einem Beispiel die Oberfläche der Kugelkalotte \[ K:= \{ (x,y,z) \in S^2: z \geq \sqrt{x^2+y^2}\} \] berechnen, wobei $S^2$ die Einheitsspäre im $\mathbb{R^3}$ ist. Nun soll ich das ganze mittels Transformation auf Kugelkoordinaten machen. Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich hier mit Kugelkoordinaten arbeiten soll. Als Ansatz habe ich versucht die Menge K umzuschreiben auf \[ K:= \{T(r,\alpha,\theta): r = 1, \alpha \in [-\pi, \pi), \theta \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) \} \] wobei, T der Diffeomorphismus der Kugelkoordinaten nach $\mathbb{R^3}$ ist. Damit wäre die Menge ja in Kugelkoordinaten angegeben. Allerdings habe ich nun keine Idee wie ich damit nun die Oberfläche von der gegebenen Menge berechnen soll. Ist es überhaupt sinnvoll die Menge so umzuschreiben? Ich wäre froh wenn jemand einen Ansatz für mich hat, wie ich von hier weitermachen soll, bzw. wie es anders gehen könnte. Grüße


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lula
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-01

Hallo natürlich sind Kugelkoordinaten das beste Mittel Kugeloberflächen zu bestimmen, dabei ist dA=rd\phi*rsin(\theta)d\theta, das kann man anschaulich als Quadrat sehen oder aus der funktionaldeterminante bestimmen- Gruß lula


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julian2000P
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-01

Hallo lula, danke für deine Antwort. Ich habe das ganze nun so probiert. Zu bestimmen ist ja die Oberfläche der gegebenen Menge, ich berechne daher: \[ \int_K 1 \; d\mu = \int_{T^{-1}(K)} 1 \circ T \cos(\theta) \; d\lambda (\alpha, \theta) = \int_{-\pi}^\pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(\theta) \; d\theta \; d\alpha = 2 \pi (\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{4})) = 2 \pi (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) \] ($\mu$ ist hier nur unsere Bezeichnung für das Oberflächenmaß) Stimmt das nun so? Ich habe das Ergebnis auf Wikipedia unter Kugelsegmente verglichen (habe in die Formel dort eingesetzt) und dort kommt etwas anderes heraus, wenn ich mich nicht verrechnet habe. Ich bin mir allerdings nicht sicher wo bei mir der Fehler ist. Wäre froh wenn du mir nochmal helfen könntest. Grüße


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AlphaSigma
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-02

Hallo Julian, mit den Kugelkoordinaten \[r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\] \[0 \le \vartheta \le \pi, \text{Polarwinkel zw. r und z-Achse}\] \[0 \le \varphi \le 2 \pi\] \(\varphi\) Azimutwinkel zw. Projektion von r auf x,y-Ebene und x-Achse, ist das Flächenelement \(dA = r^2 \sin\vartheta d\vartheta d\varphi\). Der Rand der Kugelkalotte ist durch \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\) definiert. Auf dem Rand gilt \(\tan{\vartheta} = \sqrt{x^2 + y^2} / z = 1\). Also \(\sin \vartheta = \cos \vartheta \rightarrow \vartheta = \pi / 4\). \[A = \int_0^{\pi/4} d\vartheta\ \sin \vartheta \int_0^{2 \pi} d\varphi\ 1^2\] \[A = 2 \pi \int_0^{\pi/4} d\vartheta \sin \vartheta\] \[A = 2 \pi \left[ -\cos \vartheta\right]_0^{\pi/4} = 2 \pi \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\] Auf wikipedia "Kugelausschnitt" komme ich mit \(r = 1\) und \(a = 1-h\) und \((1-h)^2+a^2 = 1\) auf das gleiche. Deine Lösung sollte also richtig sein.


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julian2000P
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-02

Hallo AlphaSigma, vielen Dank für deine Hilfe und Erklärung, ich glaube die Sache nun verstanden zu haben. Danke auch nochmal für die Bestätigung, dass mein Ergebnis korrekt ist. (Ich habe wie es aussieht auf Wikipedia immer in die falsche Formel eingesetzt... ) Viele Grüße


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