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Lineare Algebra » Vektorräume » Was genau ist die "Basis" eines Vektors?
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Universität/Hochschule Was genau ist die "Basis" eines Vektors?
Dusia_mag_LA
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  Themenstart: 2021-02-02

Ich bin ein bisschen verwirrt was die "Basis" (und Basiswechsel und so weiter) eines Vektors angeht. Um zu verdeutlichen, was ich meine, hab ich mir folgendes Beispiel überlegt: Seien $a, b \in \mathbb{R}^2$ Vektoren mit $a = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$ und $b = \begin{pmatrix} 2\\ 2 \end{pmatrix}$. Dann würde man ja erstmal sagen, dass offensichtlich $a \neq b$. Jedoch kann es eben doch sein, dass $a = b$, weil ich nicht angegeben hab, zu welcher Basis diese Vektoren sind? Und es wäre $a = b$, wenn $a$ die Standardbasis benutzt, aber $b$ zur Basis $\left(\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}\right)$ ist?


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! Ein Vektor hat keine Basis. Dein Vektorraum hier ist der \(\IR^2\), und von diesem hast du zwei verschiedene Basen angegeben. Und ja: wenn der Vektor \(a\) bezüglich der Standardbasis und der Vektor \(b\) bezüglich der Basis \(\left\{\bpm 1/2\\0\epm,\bpm 0\\ 1/2\epm\right\}\) gedacht sind: dann ist es jeweils der gleiche Vektor in zwei unterschiedlichen Darstellungen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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sarose
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-02

In deinem Beispiel sind die Vektoren kollinear oder mit anderen Worten linear abhängig oder mit anderen Worten parallel. Die Vektoren unterscheiden sich nur durch ihre Länge. Ihre Richtung ist gleich. Diese beiden Vektoren sind keine Basisvektoren. Du kannst mit Hilfe der Standardbasisvektoren \((1,0)^T\) und \((0,1)^T\) jeden zweidimensionalen Vektor darstellen. Um einen zweidimensionalen Vektor darzustellen benötigst du zwei Basisvektoren. Die Basisvektoren sind linear unabhängig. Die Standardbasisvektoren im Raum sind \((1,0,0)^T\), \((0,1,0)^T\) und \((0,0,1)^T\). Mit Hilfe diese Vektoren kannst du jeden beliebigen räumlichen Vektor darstellen. Um im Raum zu bleiben, benötigst du also drei linear unabhängige Vektoren.


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Dusia_mag_LA
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-02

\quoteon(2021-02-02 17:41 - Diophant in Beitrag No. 1) Ein Vektor hat keine Basis. \quoteoff Hmm, okay? Wie ist die Formulierung dann besser? Ein Vektor $\textbf{hat}$ keine Basis, aber ein Vektor ist "bezüglich" einer Basis angegeben? \quoteon(2021-02-02 17:41 - Diophant in Beitrag No. 1) bezüglich der Basis \(\left\{\bpm 1/2\\0\epm,\bpm 0\\ 1/2\epm\right\}\) gedacht \quoteoff Du benutzt jetzt hier $\{\}$ Mengenklammern. Aber müsste diese Basis nicht geordnet sein, also mit $()$ Tupelklammern? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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sarose
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-02

Wir verwenden die Mengenschreibweise, weil wir in der Menge zwei Vektoren enthalten sind. Die Reihenfolge der verwendeten Vektoren ist egal. Deshalb benötigen wir kein Tupel.


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-02-02 17:51 - Dusia_mag_LA in Beitrag No. 3) \quoteon(2021-02-02 17:41 - Diophant in Beitrag No. 1) Ein Vektor hat keine Basis. \quoteoff Hmm, okay? Wie ist die Formulierung dann besser? Ein Vektor $\textbf{hat}$ keine Basis, aber ein Vektor ist "bezüglich" einer Basis angegeben? \quoteoff Ja, genau. \quoteon(2021-02-02 17:51 - Dusia_mag_LA in Beitrag No. 3) \quoteon(2021-02-02 17:41 - Diophant in Beitrag No. 1) bezüglich der Basis \(\left\{\bpm 1/2\\0\epm,\bpm 0\\ 1/2\epm\right\}\) gedacht \quoteoff Du benutzt jetzt hier $\{\}$ Mengenklammern. Aber müsste diese Basis nicht geordnet sein, also mit $()$ Tupelklammern? \quoteoff Soweit ich weiß, ist beides möglich. Ich verwende halt die Mengenschreibweise. @sarose: Achtung: die beiden Vektoren sind bzgl. unterschiedlicher Basen gemeint! Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]\(\endgroup\)


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AlphaSigma
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-02-02

\quoteon(2021-02-02 17:33 - Dusia_mag_LA im Themenstart) ... Seien $a, b \in \mathbb{R}^2$ Vektoren mit $a = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$ und $b = \begin{pmatrix} 2\\ 2 \end{pmatrix}$. ... weil ich nicht angegeben hab, zu welcher Basis diese Vektoren sind? \quoteoff Du musst aber angeben zu welcher Basis die Komponenten des Vektors gehören. Nur wenn die Basis aus dem Kontext klar hervorgeht, gibt man sie gewöhnlich nicht nochmal explizit an. Oft wird die kanonische Basis im kartesischen Koordinatensystem angenommen. \quoteon(2021-02-02 17:41 - Diophant in Beitrag No. 1) ... und von diesem hast du zwei verschiedene Basen angegeben. \quoteoff Nein, er schreibt er hat zwei Vektoren angegeben. Wobei er genau genommen die Komponenten von zwei Vektoren in einer Basis, die er nicht explizit definiert hat, angegeben hat. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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Dusia_mag_LA
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-02

\quoteon(2021-02-02 17:47 - sarose in Beitrag No. 2) In deinem Beispiel sind die Vektoren kollinear oder mit anderen Worten linear abhängig oder mit anderen Worten parallel. Die Vektoren unterscheiden sich nur durch ihre Länge. Ihre Richtung ist gleich. Diese beiden Vektoren sind keine Basisvektoren. \quoteoff Tut mir leid - entweder versteh ich den Zusammenhang zu meiner Frage nicht, oder du hast eventuell meine Frage missverstanden. Ich habe gar nicht sagen wollen, dass $a$ und $b$ Basisvektoren sind. Es sind zwei beliebige Vektoren im selben Vektorraum, die unterschiedliche Komponenten haben. Meine Verwirrung kommt daher, dass anscheinend zu jedem Vektor auch die "bezügliche Basis" angegeben werden muss: denn nur weil die Komponenten unterschiedliche Werte haben, bedeutet das nicht, dass sie nicht doch "denselben" Vektor beschreiben. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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sarose
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-02-02

Danke Diophant...hab ich nicht beachtet. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


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AlphaSigma
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-02-02

\quoteon(2021-02-02 17:59 - Dusia_mag_LA in Beitrag No. 7) \quoteon(2021-02-02 17:47 - sarose in Beitrag No. 2) ... Meine Verwirrung kommt daher, dass anscheinend zu jedem Vektor auch die "bezügliche Basis" angegeben werden muss: denn nur weil die Komponenten unterschiedliche Werte haben, bedeutet das nicht, dass sie nicht doch "denselben" Vektor beschreiben. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.] \quoteoff [Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.] Genau, es muss immer klar sein zu welcher Basis die Komponenten gehören. In der Regel nimmt man die gleiche Basis für alle Vektoren, die man gerade betrachtet. Dann sind Vektoren, die unterschiedliche Komponenten haben, auch voneinander verschieden.


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Dusia_mag_LA
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-02

\quoteon(2021-02-02 18:05 - AlphaSigma in Beitrag No. 9) In der Regel nimmt man die gleiche Basis für alle Vektoren, die man gerade betrachtet. \quoteoff Ja, das macht natürlich Sinn. Nur geht es bei mir gerade um Basiswechsel und dann gibt es eben leider mehrere verschiedene Basen. Daher die Verwirrung. Jetzt frag ich mich nur, warum die Basis nicht geordnet sein muss? Muss sie erst dann geordnet sein, sobald man die Elemente der Basis in einer Matrix für Matrixdarstellung einer Funktion verwendet?


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sarose
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-02-02

Nein, auch in der Matrix darfst du die Vektoren wild durcheinander schreiben...Es handelt sich um eine Menge von Vektoren...


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Diophant
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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-02-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2021-02-02 18:14 - Dusia_mag_LA in Beitrag No. 10) \quoteon(2021-02-02 18:05 - AlphaSigma in Beitrag No. 9) In der Regel nimmt man die gleiche Basis für alle Vektoren, die man gerade betrachtet. \quoteoff Jetzt frag ich mich nur, warum die Basis nicht geordnet sein muss? \quoteoff Hm. Wie willst du denn solche Vektoren aus einem \(K^n\)-Vektorraum überhaupt ordnen? Das dürfte eher schwierig werden... Nachtrag: Natürlich braucht eine Basis eine willkürlich festgelegte Ordnung, um konkret Vektoren darstellen zu können. Das spricht aber nicht gegen die Mengenschreibweise, darum ging es mir hier, sonst um nichts weiter. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-02-02

Eine Basis ist eine Teilmenge eines Vektorraums. Und jedes Element des Vektorraums ist die Linearkombination von Basiselementen. Möchte man die Elemente eines Vektorraums als Koordinatenvektor bzgl. einer Basis schreiben, muss natürlich klar sein, welche Koordinate zu welchem Basiselement gehört, d. h. man muss die Basis ordnen.


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Diophant
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  Beitrag No.14, eingetragen 2021-02-02

@StrgAltEntf: \quoteon(2021-02-02 19:11 - StrgAltEntf in Beitrag No. 13) Eine Basis ist eine Teilmenge eines Vektorraums. Und jedes Element des Vektorraums ist die Linearkombination von Basiselementen. Möchte man die Elemente eines Vektorraums als Koordinatenvektor bzgl. einer Basis schreiben, muss natürlich klar sein, welche Koordinate zu welchem Basiselement gehört, d. h. man muss die Basis ordnen. \quoteoff Das ist schon klar (hätte ich vielleicht dazuschreiben sollen). Das spricht aber alles nicht dagegen, die Basis als Menge zu schreiben. Denn diese Ordnung ist willkürlich und basiert nicht auf einer Ordnungsrelation. Darum ging es mir. Gruß, Diophant


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.15, eingetragen 2021-02-02

\quoteon(2021-02-02 19:14 - Diophant in Beitrag No. 14) Das spricht aber alles nicht dagegen, die Basis als Menge zu schreiben. \quoteoff Ne, das steht ja auch in meinem ersten Satz. Ich wollte dich hier auch nicht korrigieren, sondern es nur noch einmal auf den Punkt bringen. Grüße StrgAltEntf


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