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  σ-Algebra bestimmen |
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Trontje223
Neu 
Dabei seit: 05.02.2021
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2021-02-05
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Hallo, ich habe hier eine Aufgabe in einer Analysis 3 (Maßtheorie) Altklausur gefunden und bin vor allem bei der b) sehr verwirrt, wie ich vorgehen muss.
Ob die Gesamtmenge in der Menge liegt, ist mir noch klar, aber die anderen beiden Eigenschaften einer Sigma-Algebra (Vereinigungs-Stabilität unter unendlichen Vereinigungen und Komplement-Stabilität) kriege ich überhaupt nicht hin, ich weiß nicht mal, wie ich hier vorgehen soll.
Denn bei a) sollte ja die Potenzmenge der geraden Zahlen rauskommen oder?
Ich würde mich über Tipps sehr freuen!
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sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
|  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-05
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Hallo Trontje223,
\quoteon(2021-02-05 22:33 - Trontje223 im Themenstart)
Ob die Gesamtmenge in der Menge liegt, ist mir noch klar, aber die anderen beiden Eigenschaften einer Sigma-Algebra (Vereinigungs-Stabilität unter unendlichen Vereinigungen und Komplement-Stabilität) kriege ich überhaupt nicht hin, ich weiß nicht mal, wie ich hier vorgehen soll.
\quoteoff
Ersetze "unendliche Vereinigungen" durch "abzählbar unendliche Vereinigungen", sonst stimmt es nicht. Offenbar muss in \((a)\) für jede Menge \(A\subseteq\{2,4,\ldots,2n\}\) gelten, dass \(A\in\sigma(G_n)\) (bilde Vereinigungen). Weiter muss damit jede Menge der Form \(\mathbb{N}\setminus A\) mit \(A\subseteq\{2,4,\ldots,2n\}\) in \(\sigma(G_n)\) liegen (bilde Komplemente). Dann musst Du Dir überlegen, ob das Mengensystem \(\{A\,|\,A\subseteq\{2,4,\ldots,2n\}\}\cup\{\mathbb{N}\setminus A\,|\,A\subseteq\{2,4,\ldots,2n\}\}\) schon eine \(\sigma\)-Algebra bildet.
\quoteon(2021-02-05 22:33 - Trontje223 im Themenstart)
Denn bei a) sollte ja die Potenzmenge der geraden Zahlen rauskommen oder?
\quoteoff
Das kann schon wegen \(\mathbb{N}\notin\mathcal{P}(2\mathbb{N})\) nicht sein.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-06
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Da abzählbare Vereinigungen in der erzeugten Sigma Algebra liegen, müssen bereits alle geraden Zahlen in dieser Algebra liegen. Da auch Komplemente erlaubt sind, müssen also auch alle Ungeraden Zahlen darin enthalten sein. Führe diese Denkweise einfach weiter, überleg dir was man alle bauen kann. Kann man zum Beipsiel jede Teilmenge der natürlichen Zahlen bauen?
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Trontje223
Neu 
Dabei seit: 05.02.2021
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-06
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Angenommen, b) stimmt. Dann:
Wähle einfach \(M_n\) := {2,4,6,..,2n} wähle, so ist das ja in \(G_n\).
Nach Def. Sigma-Algebra liegt das dann auch in A.
Es ist aber die Vereinigung dieser \(M_n\) nicht in A, da:
Für endliche Vereinigungen ist man zwar noch in A (klar), aber bei einer abzählbar unendlichen Vereinigung (die natürlich abzählbar ist, da natürliche Zahlen vereinigt werden) wird die Menge zu groß und ist nicht mehr in A.
Liege ich richtig? Und wenn ja, wie hätte man das formal schöner aufschreiben können?
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sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-06
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\quoteon(2021-02-06 20:31 - Trontje223 in Beitrag No. 3)
Wähle einfach \(M_n\) := {2,4,6,..,2n} wähle, so ist das ja in \(G_n\).
\quoteoff
\(M_n\in\sigma(G_n)\) für alle \(n\in\mathbb{N}\).
\quoteon(2021-02-06 20:31 - Trontje223 in Beitrag No. 3)
Nach Def. Sigma-Algebra liegt das dann auch in A.
Es ist aber die Vereinigung dieser \(M_n\) nicht in A, da:
\quoteoff
\(M_n\in\mathcal{A}\) für alle \(n\in\mathbb{N}\), aber \(\cup_{n\in\mathbb{N}}M_n\notin\mathcal{A}\). Was ist \(\cup_{n\in\mathbb{N}}M_n\)?
\quoteon(2021-02-06 20:31 - Trontje223 in Beitrag No. 3)
... wird die Menge zu groß und ist nicht mehr in A.
\quoteoff
Also das musst Du noch präzisieren. \(\mathbb{N}\) liegt ja auch in \(\mathcal{A}\) und ist sogar "größer", die Größe allein ist also nicht entscheidend. Dazu solltest Du aber erstmal Teil \((a)\) lösen, sonst weißt Du ja gar nicht wie \(\sigma(G_n)\) und damit \(\mathcal{A}\) aussehen.
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Trontje223 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Trontje223 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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