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Lineare Algebra » Vektorräume » Anschaulicher Weg von Basiswechsel in Standardbasis
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Universität/Hochschule Anschaulicher Weg von Basiswechsel in Standardbasis
Dusia_mag_LA
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-02-07


Angenommen ich hab eine Basis X = $\left(\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}\right)$ und suche die Basiswechselmatrix $T_{XS}$ von $X$ in die Standardbasis $S = \left(\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}\right)$.

Ich denke, man kann das einfach ablesen und es ist $T_{XS} = \begin{pmatrix}
1 & 3\\
2 & 4
\end{pmatrix}$. Stimmt das und gibt es einen anschaulichen Weg, wie das geht?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

es ist gerade andersherum: deine Matrix beschreibt den Basiswechsel von \(S\) nach \(T\). Andersherum brauchst du also die inverse Matrix \(T^{-1}\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Dusia_mag_LA
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-07


2021-02-07 16:04 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
es ist gerade andersherum

Aaaah oh nein 🙈 Ich hatte sowas schon vermutet. Siehe auch hier meine Frage dazu LinkNotation Darstellungsmatrix und Basiswechselmatrix Dann ist das also auch falsch?



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reik
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-07


2021-02-07 15:54 - Dusia_mag_LA im Themenstart schreibt:
Stimmt das und gibt es einen anschaulichen Weg, wie das geht?

Wird sehr anschaulich hier animiert und erklärt.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-07


Hi,

2021-02-07 16:10 - Dusia_mag_LA in Beitrag No. 2 schreibt:
2021-02-07 16:04 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
es ist gerade andersherum

Aaaah oh nein 🙈 Ich hatte sowas schon vermutet. Siehe auch hier meine Frage dazu LinkNotation Darstellungsmatrix und Basiswechselmatrix Dann ist das also auch falsch?

nein, dort in dem anderen Thread ist alles richtig (wie ich in meiner dortigen Antwort ja auch geschrieben habe).


Gruß, Diophant



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Dusia_mag_LA
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-07


2021-02-07 16:37 - reik in Beitrag No. 3 schreibt:
2021-02-07 15:54 - Dusia_mag_LA im Themenstart schreibt:
Stimmt das und gibt es einen anschaulichen Weg, wie das geht?

Wird sehr anschaulich hier animiert und erklärt.

Cool, danke für den Link :)



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Dusia_mag_LA
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-07


2021-02-07 17:06 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:
nein, dort in dem anderen Thread ist alles richtig (wie ich in meiner dortigen Antwort ja auch geschrieben habe).

Alles klar, danke! Dann jetzt also die verbesserte Version: Angenommen ich hab eine Basis A = $\left(\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}\right)$ und die Standardbasis $S = \left(\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}\right)$.

Dann ist $T_{SA}$ Basiswechselmatrix von $S$ nach $A$ mit $T_{SA} = \begin{pmatrix}
1 & 3\\
2 & 4
\end{pmatrix}$

Und $T_{AS}$ die Basiswechselmatrix von $A$ nach $S$ mit $T_{AS} = {T_{SA}}^{-1} = \begin{pmatrix}
-2 & \frac{3}{2} \\
1 & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix}$

Wobei $T_{SA}$ einfach abgelesen wird. Und $T_{AS}$ wird über die Inverse ausgerechnet.

Stimmt das so?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-02-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2021-02-07 18:41 - Dusia_mag_LA in Beitrag No. 6 schreibt:
2021-02-07 17:06 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:
nein, dort in dem anderen Thread ist alles richtig (wie ich in meiner dortigen Antwort ja auch geschrieben habe).

Alles klar, danke! Dann jetzt also die verbesserte Version: Angenommen ich hab eine Basis A = $\left(\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}\right)$ und die Standardbasis $S = \left(\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}\right)$.

Dann ist $T_{SA}$ Basiswechselmatrix von $S$ nach $A$ mit $T_{SA} = \begin{pmatrix}
1 & 3\\
2 & 4
\end{pmatrix}$

Und $T_{AS}$ die Basiswechselmatrix von $A$ nach $S$ mit $T_{AS} = {T_{SA}}^{-1} = \begin{pmatrix}
-2 & \frac{3}{2} \\
1 & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix}$

Wobei $T_{SA}$ einfach abgelesen wird. Und $T_{AS}$ wird über die Inverse ausgerechnet.

Stimmt das so?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Ja, passt. 👍


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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