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Lineare Algebra » Vektorräume » Spezialfall V = K^n ?
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Universität/Hochschule Spezialfall V = K^n ?
Dusia_mag_LA
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-02-09


Warum ist auf Wikipedia V = K^n ein Spezialfall, was kann man denn noch haben außer  V = K^n ? Und wie kann man die Basiswechselmatrix berechnen wenn es kein Spezialfall ist?  

Link:
de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum)#Basiswechselmatrix



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-09


Erstens findest du unter de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Beispiele bereits genügend Beispiele von Vektorräumen, die keine $K^n$ sind. Zweitens hat ein $K^n$ für $n\geq 1$ auch jede Menge echte Unterräume, die dann auch keine $K^n$ sind.


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von ligning]


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Dusia_mag_LA
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-09


Okay, also zum Beispiel, wenn der Vektorraum ein Funktionenraum ist, dann geht das nicht. Der "Spezialfall" $V = K^n$ ist entsprechend eher der "Normalfall" - nur eben nicht der "allgemeine Fall". Und nur wenn man mit abstrakteren, "abgespaceten" Räumen arbeitet, dann muss man aufpassen.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-09


Nein. $\{(x,y) \in K^2 : x+y=0\}$ ist ein Unterraum von $K^2$, eine ganz normale Gerade, und nicht gleich $K$ (aber isomorph zu $K$).

Aber selbst wenn du $V \cong K^n$ meintest: Es gibt ganz einfache Beispiele von unendlich-dimensionalen Vektorräumen. Betrachte etwa $\IR$ als $\IQ$-Vektorraum. Für kein $n \in \IN$ ist $\IR \cong \IQ^n$, weil $\IQ^n$ im Gegensatz zu $\IR$ abzählbar ist.

Es mag zwar $V \cong K^n$ der "Normalfall" in einer Vorlesung zur linearen Algebra 1 sein, aber abseits davon nicht.



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