Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Integration » Integration im IR^n » Ein Integral in drei Dimensionen
Autor
Universität/Hochschule J Ein Integral in drei Dimensionen
Phoensie
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 437
Wohnort: Muri AG, Schweiz
  Themenstart: 2021-02-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \) Hallo zusammen Aufgabe. Seien $a$ und $b$ reelle Zahlen mit $-1 < a < b$. Berechne das Integral \[ \begin{align*} I := \int_0^1 \int_0^1 \int_a^b (yz)^x \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z. \end{align*} \] Meine Frage. Der Integrand ist für $(x,y,z) \in [a,b] \times [0,1] \times [0,1]$ stetig, womit der Satz von Fubini die Vertauschung der Integrationsreihenfolge erlaubt, wenn ich nicht irre. Ich habe versucht, zuerst das $x$-Integral zu lösen, aber damit erhalte ich für $x \mapsto (yz)^x$ die Stammfunktion $x \mapsto \frac{(yz)^x}{\ln(yz)}$, was die weitere Rechnung nicht gerade einfach gestaltet. Wäre evtl. eine andere Integrationsreihenfolge simpler durchzurechnen, oder bleibt es einfach hierbei am "einfachsten"?🤔 Ich danke im Voraus für Anregungen. LG Phoensie \(\endgroup\)


   Profil
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3019
Wohnort: Werne
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-10

Hallo Phoensie, definitiv, integriere nach $x$ als letztes. Spalte zunächst per Potenzgesetzen die Integrale nach $y$ und nach $z$ auf. Ciao, Thomas


   Profil
Phoensie
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 437
Wohnort: Muri AG, Schweiz
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \) Lieber Thomas Danke für den Tipp. Ich präsentiere mal meine Rechnung: \[ \begin{align*} I &= \int_0^1 \int_0^1 \int_a^b (yz)^x \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z \\ &= \int_0^1 \int_0^1 \int_a^b y^x z^x \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z \\ &= \int_a^b \int_0^1 \int_0^1 y^x z^x \mathrm{d}y \mathrm{d}z \mathrm{d}x \\ &= \int_a^b \left( \int_0^1 y^x \mathrm{d}y \right) \left( \int_0^1 z^x \mathrm{d}z \right) \mathrm{d}x \\ &= \int_a^b \left( \int_0^1 y^x \mathrm{d}y \right)^2 \mathrm{d}x \\ &= \int_a^b \left( \left[ \frac{y^{x+1}}{x+1} \right]_{y=0}^{y=1} \right)^2 \mathrm{d}x \\ &= \int_a^b \left( \frac{1^{x+1}}{x+1} - \frac{0^{x+1}}{x+1} \right)^2 \mathrm{d}x \\ &= \int_a^b \left( \frac{1}{x+1} \right)^2 \mathrm{d}x \\ &= \int_a^b \frac{1}{(x+1)^2} \mathrm{d}x \\ &= \int_{a+1}^{b+1} \frac{1}{u^2} \mathrm{d}u \\ &= \left[-\frac{1}{u}\right]_{u=a+1}^{u=b+1} \\ &= - \frac{1}{b+1} + \frac{1}{a+1} \\ &= \frac{b - a}{(a+1)(b+1)}, \end{align*} \] wobei ich $u:=x+1$ substituiert habe.\(\endgroup\)


   Profil
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3019
Wohnort: Werne
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-10

👍 Ciao, Thomas


   Profil
sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 690
  Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-11

Hallo Phoensie, \quoteon(2021-02-10 21:43 - Phoensie im Themenstart) Der Integrand ist für $(x,y,z) \in [a,b] \times [0,1] \times [0,1]$ stetig, womit der Satz von Fubini die Vertauschung der Integrationsreihenfolge erlaubt, wenn ich nicht irre. \quoteoff Der Integrand \((yz)^x\) ist für \(a\leq0\) nicht stetig auf \([a,b] \times [0,1] \times [0,1]\), für \(a<0\) ist er nicht einmal beschränkt. Da er aber nichtnegativ ist, kannst Du direkt mit dem Satz von Fubini-Tonelli argumentieren, dass Deine Rechnung das korrekte Ergebnis liefert.


   Profil
Phoensie hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Phoensie hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]