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Analysis » Komplexe Zahlen » Sechste Wurzeln von 1 in C ohne Polarkoordinaten bestimmen
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Universität/Hochschule J Sechste Wurzeln von 1 in C ohne Polarkoordinaten bestimmen
Schnubelub
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  Themenstart: 2021-02-15

Hallo, ich stecke bei folgender Aufgabe: Man bestimme alle sechsten Wurzeln von 1 in C auf zwei Arten: In Polarkoordinaten und in der Real- und Imaginärteil Schreibweise. Man berechne daraus cos(\pi/3) und sin(\pi/3). Mit Polarkoordinaten ist das natürlich nicht schwer: 1=e^(2*\pi*i*k) wobei k\el\ {0,1,2,3,4,5} 1^(1/6)=e^((\pi*i*k)/3) Um die Lösungen zu ermitteln einfach für k einsetzen. Dass z.B $e^{\pi*i/3}=cos(\pi/3)+i*sin(\pi/3)=0.5+i*sqrt(3)/2$ darf ich nicht benutzen, da ich ja genau diese Gleichheit zeigen muss. Um die sechsten Wurzeln in Real- und Imaginärteil Schreibweise zu bestimmen, habe ich einmal unbestimmt angesetzt, aber komm einfach nicht weiter: Sei w^6=1+0i und w=c+id. 1+0i=w^6=(c+id)^6=c^6+6c^5 id-15c^4 d^2-20c^3 id^3+15c^2 d^4+6cid^5-d^6 also gilt: Re(1)=1=c^6-15c^4 d^2+15c^2 d^4-d^6 Im(1)=0=6c^5 d-20c^3 d^3+6cd^5 Bin mir nicht sicher ob dieser Ansatz aussichtsreich ist. Habe schon versucht das ganze umzuformen war aber bisher noch wenig erfolgreich. Gibt es vllt einen anderen Lösungsansatz? Bin für jeden Tipp dankbar!


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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-15

Hallo, du könntest zunächst die dritten Einheitswurzeln (das führt auf eine quadratische(!) Gleichung) und anschließend deren Quadratwurzeln bestimmen.


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Schnubelub
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-15

Danke Nuramon für deine Antwort. Das werd ich gleich probieren!


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Man kann auch \( w^6-1=(w^2-1)(w^4+w^2+1)\) schreiben und dann im zweiten Faktor mit \( u=w^2\) und der p-q-Formel weiterrechnen. \( w^2=u\) löst man dann mit dem bekannten Ansatz \( w=a+bi\), was wieder auf eine reelle quadratische Gleichung führt.\(\endgroup\)


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Schnubelub
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-15

Danke Wally, dieser Ansatz ist wirklich sehr elegant. Hab alle Wurzeln schon bestimmen können. Danke euch beiden!!


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Nuramon
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-15

Man kann sich die Rechnungen stark vereinfachen, wenn man beachtet, dass das Produkt einer zweiten Einheitswurzel und einer dritten Einheitswurzel eine sechste Einheitswurzel ist. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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