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Analysis » Grenzwerte » Grenzwert x gegen ∞ exp(x)/x^n
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Universität/Hochschule J Grenzwert x gegen ∞ exp(x)/x^n
Schnubelub
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  Themenstart: 2021-02-15

Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe leider nicht weiter: Zeige mit Hilfe der Potenzreihendarstellung von exp, dass lim(x->\inf,exp(x)/x^n)=+\inf für beliebiges n\el\ \IN. Habe es mal wie in der Aufgabenstellung angesetzt, Ableitung und Regel von de l'Hopital kann ich nicht verwenden: exp(x)/x^n=sum(x^k/k!,k=0,\inf)/x^n=sum(x^(k-n)/k!,k=0,\inf):=g(x) Ich weiß von Geogebra, dass für x>n die Funktion exp(x)/x^n monoton wachsend ist, aber weiß nicht wie ich das zeigen soll. Habe schon Indexshifts bzw. nach unten abschätzen probiert, hab aber leider nichts brauchbares rausbekommen: Sei \epsilon>0 beliebig. z.z wäre ja, dass g(n+\epsilon)>g(n) g(n+\epsilon)=sum((n+\epsilon)^(k-n)/k!,k=0,\inf) g(n)=sum(n^(k-n)/k!,k=0,\inf) Ab jetzt hab ich noch keine Umformung gefunden, die mir weiterhelfen könnte. Vielleicht hat jemand einen Ansatz wie man das lösen kann.


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, wenn du \(e^x\to\infty\) für \(x\to\infty\) verwenden kannst (und da spricht ja nichts dagegen), dann ist das mit dem Indexshift doch gar keine schlechte Idee. Teile zunächst die Summe einmal so auf, dass du zunächst bis \(k=n-1\) summierst und diese Summe für sich betrachtest. Aus dem Rest faktorisierst du ein paar überzählige Fakultäten heraus und verwandelst das ganze per Indexshift wieder in die ganz gewöhnliche Exponentialreihe. EDIT: noch einfacher geht es, wie im folgenden Beitrag gezeigt. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Grenzwerte' von Diophant]\(\endgroup\)


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sonnenschein96
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-15

Hallo Schnubelub, da Du Dich für den Grenzwert für \(x\to\infty\) interessierst, reicht es \(x>0\) zu betrachten. Dann ist aber doch \(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{k-n}}{k!}>\frac{x}{(n+1)!}\) (Summand für \(k=n+1\)), da alle anderen Summanden positiv sind. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Schnubelub
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-15

Danke Diophant und sonnenschein für eure schnellen Antworten. Die Abschätzung \(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{k-n}}{k!}>\frac{x}{(n+1)!}\) ist echt sehr schön, vielen Dank!! Da hätte ich aber auch selber draufkommen sollen.


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