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  Durchschnitt von σ-Algebren |
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applejuice
Junior 
Dabei seit: 17.02.2021
Mitteilungen: 11
 |  Themenstart: 2021-02-18
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Hallo,
ich verstehe leider das folgende Lemma nicht:
Sei X eine Menge. Ist A\subsetequal\ P(P(X)) eine Menge von \sigma-Algebren auf X, so ist \cut\ A:={B\subsetequal\ X: (für alle S \el\ A) B \el\ S} wieder eine \sigma-Algebra.
Mein Problem ist, dass ich die Definition nicht wirklich verstehe: Ich habe also eine Teilmenge B aus X und für diese Menge B gilt, dass für alle S\el\ A die Menge B dann auch Element von S ist. Aber was genau heißt das?
Ist die Menge S dadurch, dass sie ein Element von einer \sigma-Algebra ist, auch eine \sigma-Algebra? Ich hätte gesagt nein. Und warum muss A eine Teilmenge der Potenzmenge der Potenzmenge von X sein?
Kann mir das jemand vielleicht anhand des Beispiels X={1,2} erklären? ich weiß wie P(x) und P(P(X)) aussehen.
Vielen Dank für eure Hilfe.
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 Profil
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tactac
Senior 
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2800
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Ist $Q$ eine Menge, so ist die Durchschnittsbildung $\bigcap$ eine Operation $\mathcal P(\mathcal P(Q)) \to \mathcal P(Q)$, die $A \subseteq \mathcal P(Q)$ auf die Menge $\bigcap A := \{ q \in Q \mid \forall S \in A.\ q \in S \} \subseteq Q$ abbildet. Der Durchschnitt eines $A \subseteq \mathcal P(Q)$ ist also die Teilmenge von $Q$, die genau die Elemente enthält, die in allen Elementen von $A$ enthalten sind.
Wenn $Q = \{1,2,3,4\}$, könnte ein $A$ zum Beispiel $\{\{1,2,3,4\},\{1,2,4\},\{2,3,4\}\}$ sein, und für dieses $A$ wäre $\bigcap A = \{2,4\}$.
Soweit klar?
In der Aussage des Lemmas ist $Q = \mathcal P(X)$ für irgendeine Menge $X$, und die Elemente von $A$ sollen $\sigma$-Algebren sein, aber an der Stelle scheint dein Verständnisproblem noch nicht zu liegen.\(\endgroup\)
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1860
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Hi,
Eigentlich hast du doch schon die richtige Idee: Wenn etwas zu abstrakt ist, dann ein überschaubares Beispiel analysieren. Nun solltest du das allerdings auch machen, man erhält viel eher Erkenntnisse, es selber auszuschreiben anstatt zu lesen, was andere machen.
Aber wie du es dir gewünscht hast: Betrachte $X = \{1,2,3 \}$ und nehme darauf z.B. die zwei $\sigma$-Algebren $A_1 = \{ \emptyset, \{1 \}, \{2,3 \}, X \}$ und $A_2 = \{ \emptyset, \{2 \}, \{1,3 \}, X \}$. Setze $A = \{A_1, A_2 \} \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$. Dann ist $$\bigcap A := A_1 \cap A_2 = \{\emptyset, X \}$$ wieder eine $\sigma$-Algebra.
Vielleicht hast du Probleme damit, die Definition von $\bigcap A$ zu verdauen. Damit ist bloß gemeint, dass man alle Mengen, die im Mengensystem $A$ liegen, schneidet. (Überprüfe das.)
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
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applejuice
Junior 
Dabei seit: 17.02.2021
Mitteilungen: 11
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-18
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Vielen Dank für eure Antworten.
Durch eure Beispiele habe ich es jetzt verstanden!
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applejuice hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
applejuice hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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