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 Messbarkeit einer Funktion |
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applejuice
Junior 
Dabei seit: 17.02.2021
Mitteilungen: 11
 |  Themenstart: 2021-02-18
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Hallo,
ich habe folgendes Beispiel bezüglich Messbarkeit und \mue-Messbarkeit einer Funktion in meinem Skript, das ich nicht ganz nachvollziehen kann:
Sei X={1,2,3} eine Menge, S={\0, X, {1,2}, {3}} die \sigma-Algebra und \mue: S->{0,1} das Maß mit \mue({1,2})=0, \mue({3})=1.
Eine Funktion f: (X,S)->(\IR, B(\IR)) ist genau dann S-messbar, wenn f(1)=f(2) ist. Aber S_\mue=P(X), sodass jede Funktion f: X->\IR \mue-messbar ist.
Wie kommt man darauf, dass f genau dann messbar ist, wenn f(1)=f(2) gilt? Ich weiß, dass wenn f messbar ist, f^(-1)(f(1))\subsetequal\ S, f^(-1)(f(2))\subsetequal\ S, f^(-1)(f(3))\subsetequal\ S gilt. Aber weiter komme ich nicht.
Vielen Dank für eure Hilfe.
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sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-18
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Hallo applejuice,
wenn \(f(1)=f(2)\) ist, dann gilt \(\{1,2\}\subseteq f^{-1}(f(1))\), also kann nur \(f^{-1}(f(1))=\{1,2\}\) oder \(f^{-1}(f(1))=X\) gelten. In beiden Fällen ist also \(f^{-1}(f(1))=f^{-1}(f(2))\in S\). Nun musst Du Dir noch überlegen, was \(f^{-1}(f(3))\) jeweils ist.
Ist \(f\) andererseits messbar, so gilt \(f^{-1}(f(1))\in S\) und wegen \(1\in f^{-1}(f(1))\), muss \(f^{-1}(f(1))=\{1,2\}\) oder \(f^{-1}(f(1))=X\). Du kannst Dir leicht überlegen, dass in beiden Fällen \(f(1)=f(2)\) gelten muss.
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applejuice
Junior
Dabei seit: 17.02.2021
Mitteilungen: 11
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-19
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Hallo sonnenschein96,
Ich verstehe nun warum f^(-1)(f(1))={1,2} oder f^(-1)(f(1))=X (analog für x=2) gelten muss.
Bei der Folgerung, dass dann f(1)=f(2) gilt, komme ich aber nicht mit: Wieso ist f^(-1)(f(1))={1,2} und f^(-1)(f(2))=X nicht möglich?
Ich bin mir nun nicht mehr sicher, ob ich die Definition von messbar richtig verstanden haben. f ist ja messbar, wenn für alle A\el\ B(\IR) f^(-1)(A)\el\ S gilt. Das heißt doch, dass f^(-1)(f(1))={1,2} und f^(-1)(f(2))=X möglich ist, da f^(-1)(f(1))={1,2}\el\ S und f^(-1)(f(2))=X\el\ S gilt? Ich dachte die Urbilder von den jeweiligen A müssen nicht Element der gleichen Menge von S sein? Was verstehe ich falsch?
Für f^(-1)(f(3)) komme ich zu diesem Ergebnis: f^(-1)(f(3))={3} oder f^(-1)(f(3))=X. Aber was davon das Urbild letztendlich ist, weiß ich nicht.
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1860
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Hi,
ich glaube das Verständnisproblem liegt nicht an der Messbarkeit sondern an der Mengenlehre. Ich beantworte mal deine Frage, wieso nicht $f^{-1}(\{f(1) \}) = \{1,2 \}$ und $f^{-1}(\{f(2) \}) = \{1,2,3 \}$ gleichzeitig möglich sind.
Schreibe $a = f(1)$. Dann bedeutet per definitionem $$f^{-1}(\{a \}) = \{1,2 \} \iff f(1) = f(2) = a, \ f(3) \neq a.$$ Wenn nun aber zusätzlich $f^{-1}(\{f(2) \}) = \{1,2,3 \}$ wäre und wir $b = f(2)$ schreiben, so hätten wir $f(1) = f(2) = f(3) = b$. Wir haben aber bereits gesehen, dass nicht alle gleich sind.
Die Moral der Story ist aber eher: Schreibe die Definitionen aus, wenn du es nicht sofort siehst.
(Übrigens, sonnenschein96 hat gar nicht behauptet, dass beide Aussagen nicht gleichzeitig möglich sind, denn das Argument verwendet das nicht. Du siehst auch bereits an meinem Beitrag wieso $f(1) = f(2)$ folgt.)\(\endgroup\)
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applejuice
Junior
Dabei seit: 17.02.2021
Mitteilungen: 11
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-19
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\quoteon(2021-02-19 10:30 - Kezer in Beitrag No. 3)
Schreibe $a = f(1)$. Dann bedeutet per definitionem $$f^{-1}(\{a \}) = \{1,2 \} \iff f(1) = f(2) = a, \ f(3) \neq a.$$
\quoteoff
Ja, du hattest recht, mein Problem lag hier in der Mengenlehre. Ich hab sie mir jetzt nochmal genauer angeschaut und verstehe den obigen Teil deiner Antwort.
Nun habe ich aber leider immer noch ein Problem:
\quoteon
Wenn nun aber zusätzlich $f^{-1}(\{f(2) \}) = \{1,2,3 \}$ wäre und wir $b = f(2)$ schreiben, so hätten wir $f(1) = f(2) = f(3) = b$. Wir haben aber bereits gesehen, dass nicht alle gleich sind.
\quoteoff
Wo haben wir bereits gesehen, dass nicht $f(1) = f(2) = f(3) = b$ gelten kann? Liegt dass daran, dass das Maß {1,2} auf 0 abbildet und {3} auf die 1?
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1860
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Die Antwort ist genau die Zeile, die du zitierst:
\quoteon(2021-02-19 10:30 - Kezer in Beitrag No. 3)
$$f^{-1}(\{a \}) = \{1,2 \} \iff f(1) = f(2) = a, \ f(3) \neq a.$$
\quoteoff\(\endgroup\)
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