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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Hartshorne, III.2.1
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Universität/Hochschule J Hartshorne, III.2.1
Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-02-19


Hallo,

ich beschäftige mich mit der folgenden Aufgabe von Hartshornes Buch. Beim Lösen der Aufgabe habe ich eine Voraussetzung nicht benutzt, was ein Hinweis für Denkfehler sein könnte.

Aufgabe. Sei $X:=\mathbb{A}_k^1$ die affine Gerade über einem unendlichen Körper $k$. Seien $P\neq Q\in X$ zwei abgeschlossene Punkte von $X$ und $U:=X\setminus \{P,Q\}$. Man zeigt, dass die Garbenkohomologie $H^1(X,\IZ_U)\neq 0$ ist ($A_V$ bezeichnet die konstante Garbe auf einem Unterraum $V\subset X$ mit Werte $A$).

Lösung. Wir können die Kohomologie via "flasque" (ich kenne das deutsche Wort dafür nicht) Auflösungen berechnen. Hier etwa
\[
0\to \IZ_U\to \IZ_X\to i_P\IZ\oplus  i_Q\IZ\to 0,
\] wobei  $i_P\IZ$ und $i_Q\IZ$ die entsprechenden Wolkenkratzer-Garben sind, deshalb flasque; da $X$ irreduzibel ist, ist die konstante Garbe $\IZ_X$ auch flasque. Ferner ist die obige Sequenz exakt, das sieht man indem man die Halme betrachtet.

Wende nun den Globalschnitt-Funktor $\Gamma(X,-)$ auf die exakte Sequenz an, dann bekommen wir eine lange exakte Sequenz
\[
\ldots\to \IZ\to \IZ\oplus\IZ\to H^1(X,\IZ_U)\to\ldots .
\] Da der Homomorphismus $\IZ\to \IZ\oplus\IZ$ nicht surjektiv sein kann, folgt $H^1(X,\IZ_U)\neq 0$.

Frage. Ich habe soweit nicht (bewusst) verwendet, dass der Körper $k$ unendlich ist. Gibt es denn Lücken in der obigen Lösung?

(Danke fürs Korrekturlesen!)



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-19


Dein Beweis ist ok. Vermutlich braucht man die Annahme nur bei Aufgabenteil (b), wo es um Hyperebenen "in allgemeiner Position" geht. Siehe auch

math.stackexchange.com/questions/1774130/why-do-we-need-the-infinite-field-hypothesis-in-this-cohomology-calculation



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-19


Ok, danke (an Teil (b) habe ich noch nicht viel gedacht).



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Saki17 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Saki17 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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