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Funktionentheorie » Holomorphie » Funktionentheorie: Lösung trivial 0
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Universität/Hochschule J Funktionentheorie: Lösung trivial 0
mcocdawc
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  Themenstart: 2021-02-19

Ich habe folgende Übungsaufgabe: ---------------------------------------- Es sei $\Delta := \Delta_r(0), r > 0$; es sei $g$ holomorph in einer Umgebung von $\partial \Delta$ Zeigen Sie: (a) Die Funktion $$f(z) := \int_{\partial \Delta} g(x) e^{zx} \, \text{d} x $$ ist eine ganze Funktion .... ---------------------------------------- Ich kann die Aufgabe über Cauchy'sche Integralformeln für Ableitungen lösen, aber ich frage mich, ob $f$ in vielen Fällen, nämlich sobald $g$ holomorph in ganz $\Delta_r(0)$ ist, trivial 0 sein muss? Sobald $g$ holomorph in ganz $\Delta_r(0)$ holomorph ist, so ist für alle $z \in \mathbb{C}$ $g(x) e^{zx}$ holomorph in ganz $\Delta_r(0)$. Außerdem ist $\Delta_r(0)$ ein Sterngebiet und die Randkurve ist geschlossen. Damit muss für alle $z \in \mathbb{C}$ $$0 = \int_{\partial \Delta} g(x) e^{zx} \, \text{d} x $$ gelten.


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-20

Hallo mcocdawc, das sehe ich auch so (nachdem du es vorgerechnet hast), sobald \(g\) holomorph in ganz \(\Delta_r(0)\) ist, muss \(f(z)=0\) herauskommen. Viele Grüße, Stefan


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Wally
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo, mcocfdawc, was du behauptest, ist 1. richtig und 2. uninteressant. Betrachte doch zunächst mal den Fall \( r=1, \, g(x)=\frac{1}{x}\). Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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StefanVogel
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-21

@Wally: Hallo Wally, bei deinem Beispiel ist aber \(g(x)\) nicht holomorph in ganz \(\Delta_r(0)\), was in der Frage vorausgesetzt wird.


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Buri
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-21

\quoteon(2021-02-21 07:23 - StefanVogel in Beitrag No. 3) @Wally: Hallo Wally, bei deinem Beispiel ist aber \(g(x)\) nicht holomorph in ganz \(\Delta_r(0)\) ... \quoteoff Hi Stefan, das ist Absicht. Die Aufgabe setzt nicht voraus, dass g in Δr(0) holomorph ist, g soll nur auf dem Rand von Δ holomorph sein. Gruß Buri


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mcocdawc
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-21

Vielen Dank für Eure Antworten. Ich fasse für mich zusammen: * Der Kern des Integraloperators muss auf dem Rand $\partial \Delta$ holomorph sein. * Wenn aber der Kern auf dem gesamten von $\partial \Delta$ umschlossenen Gebiet holomorph ist, dann ergibt sich eine triviale Nullfunktion. --------------------------------------------- In Deinem Beispiel @Wally würde sich ja wieder die klassische Integralformel ergeben $$ \int_{\partial \Delta} \frac{1}{x - 0} e^{zx} \,\text{d} x = e^{z \cdot 0} = 1$$ was ja auch noch eine eher "langweilige" Funktion ist. ;-)


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