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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Inhomogene lineare DGL 2. Ordnung, Herleitung der Lösung
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Universität/Hochschule Inhomogene lineare DGL 2. Ordnung, Herleitung der Lösung
Lookingglassk_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-02-20


Hallo,


der Ansatz: Variation der Konstanten ist mir klar aber wie genau kommt man auf die Bedingung \(\dot c_{ 1 }y_{ 1 }+\dot c_{ 2 }y_{ 2 }=0\)? Funktionieren auch andere Gleichungen, als Bedingung um die \(c_{ i }\)eindeutig festzulegen?

LG



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-20


Hallo Lookingglassk_,
der Grund steht in Klammern hinter der Bedingung. Es geht aber nicht darum, die Lösung eindeutig zu machen, sondern den Rechenweg dahin zu vereinfachen. Jede andere Partikulärlösung würde auch reichen. Du könntest an der Stelle eine andere Bedingung festlegung oder auch die Bedingung ganz weglassen und weiterrechnen. Dann kommt man später zu der Stelle, wo man es mit der Bedingung \(\dot c_{ 1 }y_{ 1 }+\dot c_{ 2 }y_{ 2 }=0\) weiter versuchen könnte (aber nicht muss).

Viele Grüße,
  Stefan



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Was in dem Buch steht ist ziemlicher Unsinn.

Wenn man die Dgl. auf ein Systen 1. Ordnung umschreibt, bekommt man

\(  \begin{pmatrix}y\\y' \end{pmatrix}'=\begin{pmatrix}0&1\\-q&-p \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y\\y' \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\b \end{pmatrix}\)

Wenn \( y_1,y_2\) ein Fundamentalsystem der Dgl. 2. Ordnung ist, ist \( Y=\begin{pmatrix}y_1&y_2\\y_1'&y_2' \end{pmatrix}\) eine Fundamentalmatrix des Systems, und wenn man jetzt Variation der Kontanten anwendet, also \( \vec{y}_p=Y\vec{c}\), erhält man diese Gleichungen völlig natürlich.

Diese Erklärung hat den Vorteil, dass man sie für Dgl. beliebiger Ordnung verwenden kann, ohne dass geheimnisvolle Zusatzbedingungen vom Himmel fallen.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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