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Universität/Hochschule J Integrale vertauschen
Phoensie
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  Themenstart: 2021-02-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \) Guten Abend miteinander. Um Vertauschbarkeit von Integralen zu üben, betrachte ich Integrale der Form $\int \int f(x,y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x$, die ich gerne als $\int \int f(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y$ geschrieben hätte. Zum Beispiel habe ich hier versucht, mit Indikatorfunktionen zu arbeiten, um den Satz von Fubini auf einem Quadrat anzuwenden, aber ich weiss nicht, wie ich die in der Indikatorfunktion gespeicherte Information zu den Grenzen wieder "entpacke": \[ \begin{align*} \int_0^1 \left( \int_{\sqrt{1-x^2}}^{1-x^2} f(x,y) \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x &= \int_0^1 \left( \int_0^1 \mathbf{1}_{\{\sqrt{1-x^2} \leq y \leq 1-x^2\}}(x,y) \cdot f(x,y) \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x \\ &= \int_0^1 \left( \int_0^1 \mathbf{1}_{\{\sqrt{1-x^2} \leq y \leq 1-x^2\}}(x,y) \cdot f(x,y) \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y \\ \end{align*} \] Wie kommt man hier weiter?🤔 LG Phoensie PS: Über $f$ ist nichts weiter bekannt.\(\endgroup\)


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-22

\quoteon(2021-02-22 21:35 - Phoensie im Themenstart) Wie kommt man hier weiter?🤔 \quoteoff Schau dir vielleicht mal die erste Gleichheit in Beitrag Nr. 2 in deinem letzten Thread an.


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sonnenschein96
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-22

Hallo Phoensie, \quoteon(2021-02-22 21:35 - Phoensie im Themenstart) PS: Über $f$ ist nichts weiter bekannt. \quoteoff \(f\) sollte aber schon integrierbar auf dem gegebenen Bereich sein :) \quoteon(2021-02-22 21:35 - Phoensie im Themenstart) Zum Beispiel habe ich hier versucht, mit Indikatorfunktionen zu arbeiten, um den Satz von Fubini auf einem Quadrat anzuwenden, aber ich weiss nicht, wie ich die in der Indikatorfunktion gespeicherte Information zu den Grenzen wieder "entpacke": \quoteoff Der Ansatz ist richtig, aber die Indikatorfunktion müsste \(\chi_{[1-x^2,\sqrt{1-x^2}]}(y)\) sein, vor dem Integral steht dann noch ein Minus. Für \(x,y\in[0,1]\) ist aber \(\chi_{[1-x^2,\sqrt{1-x^2}]}(y)=\chi_{[\sqrt{1-y},\sqrt{1-y^2}]}(x)\) (stelle die Ungleichungen um) und es folgt $$ \begin{align*} \int_0^1\int_{\sqrt{1-x^2}}^{1-x^2}f(x,y)\,dy\,dx&=-\int_0^1\int_{1-x^2}^{\sqrt{1-x^2}}f(x,y)\,dy\,dx=-\int_0^1\int_0^1\chi_{[1-x^2,\sqrt{1-x^2}]}(y)f(x,y)\,dy\,dx\\ &=-\int_0^1\int_0^1\chi_{[\sqrt{1-y},\sqrt{1-y^2}]}(x)f(x,y)\,dx\,dy=-\int_0^1\int_{\sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y^2}}f(x,y)\,dx\,dy. \end{align*} $$


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Phoensie
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-24

\quoteon(2021-02-22 22:13 - sonnenschein96 in Beitrag No. 2) stelle die Ungleichungen um \quoteoff Diese kleine Bemerkung hat den Knoten gelöst. Danke Sonnenschein96 und zippy, ich verstehe nun eure Überlegungen.😄


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