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 Gleichungen lösen mit ln und e (es handelt sich um eine tangente) |
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deaiuno
Neu 
Dabei seit: 23.02.2021
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2021-02-23
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Hallo zusammen,
ich übe diese Tage für den hilfmittelfreien Teil des Mathematik Abiturs. Mir ist folgende Aufgabe unterlaufen, die ich bereuts auf anderem Wege (Steigung in einem Punkt) lösen konnte:
Gegeben ist die Funktion f(x) = ln (e^2 - x)
c) Weisen sie rechnerisch nach, dass y = - 1/e^2 * x + 2 eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (0/f(0) ist.
Tangenten haben mit ihrer Funktion ja nur einen Punkt gemeinsam, deshalb soll sich auch das gleichsetzen anbieten um den Beweis anstellen zu können.
Nun weiß ich, dass man ln gut dadurch lösen kann, indem man einen Teilschritt e^x vornimmt. damit wäre aber das Problem, dass das x der anderen Seite praktisch als exponent von e festsitzt. Jetzt ln als Teilschritt, würde die andere Seite ja wieder zum Anfangsstadium zurückbringen. Ich habe auchüberlegt, das x der linken seite vorher auf die rechte zu bringen, allerdings will auch das nicht funktionieren, Hat jemand einen Tipp, wie bei einer solchen Aufgabe vorgegangen werden muss? Vielleicht ist die Antwort auch ganz kurz, nur einfallen will sie mir nicht. Vielen Dank für Hilfen, es wurmt mich wirklich.
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10534
Wohnort: Rosenfeld, BW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
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\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!
Das mit dem Gleichsetzen ist hier keine gute Idee, da es um eine sog. transzendente Funktion geht. Diese Vorgehensweise funktioniert i.a. nur bei rationalen Funktionen, und dort auch nur bis zu einem gewissen Grad.
Hier ist die Vorgehensweise die folgende:
- Weise nach, dass Funktion und Tangente an der Stelle \(x=0\) den gleichen Funktionswert haben
- Weise nach, dass die Funktion an der Stelle \(x=0\) die gleiche Steigung besitzt wie die Tangente.
'Weise nach' heißt hier: rechne nach! 🙂
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Funktionsuntersuchungen' in Forum 'Ableitungen' von Diophant]\(\endgroup\)
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Kitaktus
Senior 
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7089
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-23
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Solche Aufgaben kann man prinzipiell nicht durch Gleichsetzen lösen, falls Du das unter Gleichsetzen verstehst, was ich denkt.
Zunächstmal ist schon die Annahme falsch, dass eine Tangente im Punkt (x,f(x)) mit dem Graph von f genau einen Punkt gemeinsam hat. Die Tangente von f(x)=x3 im Punkt (1;1) schneidet z.B. den Graph auch im Punkt (-2;-8).
Aber selbst wenn. Es reicht ja nicht aus, dass der Graph von f und die Gerade g genau einen gemeinsamen Punkt haben. Entscheidend ist ja, dass g an dem gemeinsamen Punkt den gleichen Anstieg wie f hat.
Zu überprüfen ist also, ob f und g beide durch den angegebenen Punkt gehen und ob der Anstieg von f und g im gemeinsamen Punkt übereinstimmen.
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