| Autor |
 Beweis maximales Ideal |
|
Banana
Junior 
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 20
 |
Hallo an die Runde,
zur Vorbereitung bearbeite ich grad eine Aufgabe, wo mir leider die Idee zum Beweis fehlt:
  
Sei R:=\IZ[x] und p eine Primzahl. Weiter sei für jedes a\el\ \IZ definiert: J_a=p*\IZ+(x-a)*\IZ. Zeige, dass J_a für jedes a\el\ \IZ ein maximales Ideal von R ist. Meine Idee war zunächst, dass ich erstmal die Menge des Ideals aufzeige und habe daher erhalten: Sei n<=m, dann ist J_a={p*(d_o+d_1x+...+d_n*x^n)+(x-a)(b_o+...+b_mx^m : d_0,...d_n,b_0,...b_m \el\ \IZ} ={p*d_0 -a*b_0 +(pd_1 +(1-a)b_0)x+...+(pd_n-(1-a)b_n)x^n-ab_(n+1) x^(n+1)-...-ab_m x^m : d_0,...d_n,b_0,...b_m \el\ \IZ} Uff, ganz schön lang, aber anscheinend irgendwie nicht hilfreich. Ich habe versucht, mit dem Absolutglied p*d_0-a*b_0 zu arbeiten. Dort hatte ich gedacht g_0 als den ggT von p und (-a) zu definieren. Allerdings ohne Erfolg. Meine andere Idee über den Homomorphiesatz zu arbeiten, blieb auch ohne Erfolg, da mir kein passender Homomorphismus einfällt.
Ich hoffe, ihr könnt mir Tipps geben, wie ich an eine Lösung zu der Aufgabe gelange :)
|
 Notiz  Profil
 Quote
 Link |
Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1262
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-24
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Hi,
Homomorphismussatz bzw. Isomorphismussätze ist schon nicht schlecht. Bei dir ist übrigens ein Tippfehler, es ist $J_a = a \mathbb{Z}[x] + (x-a) \mathbb{Z}[x] = (p, x-a)_{\mathbb{Z}[x]}$.
Der Quotient ist $R/J_a \cong \mathbb{F}_p$.
-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei\(\endgroup\)
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Banana
Junior
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 20
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-24
|
Danke dir für deine Antwort.
Die Idee hatte ich auch schon, einfach die Koeffizienten auf die Restklassenelemente abzubilden. Aber es hat zumindest mit meiner Rechnung nicht ganz geklappt.
Bezüglich des Tippfehlers. Ich hab es genau so aus dem Buch, also eigentlich kein Tippfehler. Es steht explizit da, dass \(J_a=p*\IZ+(x-a)*\IZ\). Kannst du mir erklären, wo da ein Fehler sein könnte ?
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1262
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-24
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
2021-02-24 18:51 - Banana in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich hab es genau so aus dem Buch, also eigentlich kein Tippfehler. Es steht explizit da, dass \(J_a=p*\IZ+(x-a)*\IZ\). Kannst du mir erklären, wo da ein Fehler sein könnte ?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Dann Tippfehler im Buch ;-) Dieses $J_a$ is kein Ideal in $R$ (es scheitert an der Skalarmultiplikation).
-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei\(\endgroup\)
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Banana
Junior
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 20
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-24
|
Okay, dann hoffe ich, dass es wirklich ein Tippfehler war. Aber du hast durchaus Recht, es würde (zumindest aus meiner Sicht) sonst auch keinen großen Sinn ergeben.
Dann vielen liebe Dank :)
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Saki17
Aktiv
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 742
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-25
|
@Banana
Was Kezer im Beitrag 1 geschildert hat (und was du auch glauben würdest) gilt recht allgemein, s. Triceratops' Antworten in dieser Diskussion.
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Banana
Junior
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 20
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07
|
Notiz Profil
Quote
Link |
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2001
 | Beitrag No.7, eingetragen 2021-03-07
|
2021-02-24 18:51 - Banana in Beitrag No. 2 schreibt:
Bezüglich des Tippfehlers. Ich hab es genau so aus dem Buch, also eigentlich kein Tippfehler.
Aus welchem Buch denn? In Elementare Algebra und Zahlentheorie von Stroth/Waldecker steht die Aufgabe auf Seite 48 auf jeden Fall richtig:
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Banana
Junior
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 20
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07
|
Richtig, die Aufgabe wollte ich gerne bearbeiten. Meinst du, meine Lösungsidee haut hin ?
|
Notiz Profil
Quote
Link |
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2001
| Beitrag No.9, eingetragen 2021-03-07
|
2021-03-07 17:13 - Banana in Beitrag No. 8 schreibt:
Richtig, die Aufgabe wollte ich gerne bearbeiten.
Du hattest doch oben noch gesagt, in deinem Buch stünde die Aufgabe anders:
2021-02-24 18:51 - Banana in Beitrag No. 2 schreibt:
Es steht explizit da, dass \(J_a=p*\IZ+(x-a)*\IZ\).
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Banana
Junior
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 20
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07
|
Manchmal hat man Tomaten auf den Augen, das war ein Fehler meinerseits. Es geht um die Aufgabe, die du dort nochmal angebracht hast. Also nicht um \(\IZ\) sondern um \(\IZ[x]\). Tut mir leid :)
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1262
| Beitrag No.11, eingetragen 2021-03-08
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Nein, deine Gedanken ergeben leider nur wenig Sinn.
- Welche Abbildung $\phi$ nimmst du?
- Der Kern ist nie $(x-a)$ (es sei denn $a = 0$).
- Die Isomorphie $\mathbb{Z}[x]/(x-a) \cong \mathbb{Z}/a \mathbb{Z}$ ist immer falsch, es sei denn $a = 0$.
- Der Ring $\mathbb{Z}/a \mathbb{Z}$ ist nicht zwingend ein Integritätsbereich.
- Dein letzter Satz ist in dieser Form kein Argument, wieso sollte das folgen?
Saki17 hat in Beitrag No. 5 einen Thread verlinkt, wo genau die entscheidende Isomorphie erläutert wird.
-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei\(\endgroup\)
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
