Sei R:=\IZ[x] und p eine Primzahl. Weiter sei für jedes a\el\ \IZ definiert: J_a=p*\IZ+(x-a)*\IZ. Zeige, dass J_a für jedes a\el\ \IZ ein maximales Ideal von R ist.

Meine Idee war zunächst, dass ich erstmal die Menge des Ideals aufzeige und habe daher erhalten:

Sei n<=m, dann ist 
J_a={p*(d_o+d_1x+...+d_n*x^n)+(x-a)(b_o+...+b_mx^m : d_0,...d_n,b_0,...b_m \el\ \IZ}
={p*d_0 -a*b_0 +(pd_1 +(1-a)b_0)x+...+(pd_n-(1-a)b_n)x^n-ab_(n+1) x^(n+1)-...-ab_m x^m : d_0,...d_n,b_0,...b_m \el\ \IZ}

Uff, ganz schön lang, aber anscheinend irgendwie nicht hilfreich. Ich habe versucht, mit dem Absolutglied p*d_0-a*b_0 zu arbeiten. Dort hatte ich gedacht g_0 als den ggT von p und (-a) zu definieren. Allerdings ohne Erfolg. 

Meine andere Idee über den Homomorphiesatz zu arbeiten, blieb auch ohne Erfolg, da mir kein passender Homomorphismus einfällt.

Es ist \IF_p~=\IZ//p\IZ somit gilt:

\phi: \IZ[x] -> \IZ//a*\IZ mit ker(\phi)=(x-a). Somit ist \IZ[x]//(x-a)~=\IZ//a\IZ und schließlich ein Integritätsbereich. Nun ist \IZ[x]//(x-a,p)~=((\IZ[x]//(x-a))) //(p).
Da p in \IZ[x] prim ist folgt schließlich, dass \IZ[x]//(x-a,p) ein maximales Ideal ist.