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 Residuum bestimmen |
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NIck1234
Junior 
Dabei seit: 02.08.2020
Mitteilungen: 18
 |  Themenstart: 2021-02-27
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Hi,
ich habe folgende Aufgabe:
Bestimmen Sie das Cauchy-Integral
int(z/(z^2 + 2)^3,z,\gamma)
für jede geschlossene Kurve \gamma ,
welche sqrt(2)i und - sqrt(2)i
einmal im mathematisch positiven Sinne
umrundet.
Da es ja für jede Kurve gelten muss, kann ich denke ich nicht die Chauchy-Integral Formel nehmen. Deswegen wollte ich den Residuuen-Satz nehmen. f(z) in eine Laurentreihe zu entwickeln und die Residuuen abzulesen, hat sich aber als relativ schwierig herausgestellt, deswegen habe ich erstmal die Ordnung der Pole bestimmt, die bei drei liegen. Setze ich das aber in die Formel für die Residuuen ein, erweist sich die Grenzwertbildung auch als sehr kompliziert....Mittlerweile weiß ich das die Residuen für die beiden Singularitäten Null sind, die Rechnung dahin fehlt mir aber und würde mich sehr interessieren.
Hat jemand eine Idee wie man die Residuuen schnell bestimmen kann?
LG Nick
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3420
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-27
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Hallo,
vielleicht kannst du hier $u=z^2+2$ substituieren. Dann erhälst du $\frac{du}{dz}=\ldots$ und dann kannst du die Laurentreihe von $\frac{1}{2u^3}$ nutzen. Ich weiß nicht genau, ob so etwas erlaubt ist.
Oder du nutzt geschickt, dass für deinen Integranden $-f(z)=f(-z)$ gilt.
Eine weitere Möglichkeit ist Partialbruchzerlegung zu machen...
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NIck1234
Junior
Dabei seit: 02.08.2020
Mitteilungen: 18
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-27
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Danke für deine Antwort.
Ich schau mal ob es mit der Substitution leichter geht.
Allerdings hatte ich gehofft, dass es irgend einen leichteren Weg gibt... :/
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| | Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2399
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-27
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Huhu NIck1234,
\(\displaystyle \frac{z}{(z^2+2)^3}=\frac{z}{(z+i\sqrt{2})^3(z-i\sqrt{2})^3}\)
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2021-02-27_um_19.03.59.png
Gruß,
Küstenkind
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9499
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-27
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Hallo, NIck1234,
du kannst benutzen, dass es eine Stammfunktion gibt - dann brauchst du keine Residuen.
Viele Grüße
Wally
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