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  Die reelle projektive Gerade ist homöomorph zum Einheitskreis |
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Phoensie
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Mitteilungen: 428
Wohnort: Muri AG, Schweiz
 | \(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Liebe Matheplanetarier
Ich soll zeigen: $P_1(\R)$ ist homöomorph zu $S^1$.
Dabei sind $S^1 = \{x \in \R^2 \mid \|x\|_2 = 1\}$ und $P_1(\R)=(\R^2\setminus \{0\})/\sim$ mit der Äquivalenzrelation $x \sim y \iff \exists \lambda \neq 0 : x = \lambda y$. Die reelle projektive Gerade ist in dem Sinne die Menge aller Äquivalenzklassen $[x]$ modulo $\sim$ von $\R^2 \setminus \{0\}$.
Zu zeigen: $\exists f:S^1 \to P_1(\R)$ bijektiv, stetig, mit $f^{-1}$ stetig.
Zum Beweisansatz:
Sei $X := \R^2 \setminus\{0\}$. Die kanonische Projektion $\pi: X \to P_1(\R),\,x \mapsto [x]$ ist surjektiv und nach Konstruktion der Quotiententopologie stetig auf $P_1(\R)$. $\pi$ bildet Elemente auf deren Äquivalenzklasse modulo $\sim$ ab. Die Einschränkung $\pi:S^1 \to P_1(\R)$ ist ebenfalls stetig. $\R^2$ ist normierter Raum, und so existiert mit der euklidischen Norm $\|\cdot\|_2$ für jedes $[y] \in P_1(\R)$ der Punkt $\frac{y}{\|y\|_2} \in S^1$, sodass $\pi(\frac{y}{\|y\|_2}) = [y]$.
Zwischenresultat:
$\pi: S^1 \to P_1(\R)$ ist stetig und surjektiv.
Wie mache ich hier weiter?
LG Phoensie😄\(\endgroup\)
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Triceratops
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-04
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Mit deinem Ansatz kannst du nur $\mathbb{P}^1(\IR) \cong S^1 / C_2$ zeigen (mit der Gruppenwirkung $x \mapsto -x$). Es soll ja $S^1$ herauskommen.
Erinnere dich an die geometrische Vorstellung von $\mathbb{P}^1(\IR)$. Man hat die reelle affine Gerade $\IR \cong \{[x:0] : x \in \IR\}$ sowie den unendlich fernen Punkt $\infty := [0:1]$. (Es gilt tatsächlich $\lim_{x \to \pm \infty} [x:0]=[0:1]$.) Kannst du dir vorstellen, wie sich die Kreislinie $S^1$ aus einer (verformten) Geraden und einem Punkt zusammensetzen lässt?
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helmetzer
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 |  Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-05
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2021-03-04 12:11 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Man hat die reelle affine Gerade ![<math>\IR \cong \{[x:0] : x \in \IR\}</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/650b453b0370221fc1a201f2be732647.png "\IR \cong \{[x:0] : x \in \IR\}") sowie den unendlich fernen Punkt ![<math>\infty := [0:1]</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/1c31fdf444885631ca178eea611a9fda.png "\infty := [0:1]") . Kannst Du bitte diese Notation erläutern: ![<math>[x:0]</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/dddd0e988b5097571701df240457b81f.png "[x:0]")
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Triceratops
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-05
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