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  Jacobimatrix einer Matrixfunktion |
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cookies
Junior 
Dabei seit: 18.03.2015
Mitteilungen: 16
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Hallo zusammen,
ich hoffe ihr könnt mir helfen. In meinem Numerik-Skript gibt es ein Beispiel, in dem die Funktion \(f(X):= X^{-1} - A\) mit \(A,X \in \mathbb{R}^{n\times n}\) definiert wurde. Dann wurde allerdings die Jacobimatrix von \(f\) als Abbildung von \(\mathbb{R}^{n\times n}\) in sich berechnet als \(f'(X)Y=-X^{-1}YX^{-1}\) mit folgender Herleitung:
Ich bin mir unsicher, ob ich den ersten Schritt davon richtig interpretiert habe. Muss ich mir die Funktion so vorstellen, als wäre sie in \(\mathbb{R}^{n^2}\) in sich selbst definiert? Die Matrix \(Y\) ist in diesem Fall der Input der Funktion, oder? Im Prinzip könnte ich mir die Jacobimatrix dann als \(n^2\times n^2\) - Matrix vorstellen, richtig?
Liebe Grüße
cookies :)
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2726
|      Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-02
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
ja, so kannst du es dir vorstellen.
Übrigens wird die Rechnung deutlich übersichtlicher, wenn man die (mehrdimensionale) Produktregel benutzt:
Für endlich-dimensionale Vektorräume $V,W_1,W_2,W$, differenzierbare Abbildungen $f:V\to W_1$, $g:V\to W_2$ und eine bilineare Abbildung $B:W_1\times W_2 \to W$ ($B$ könnte z.B. Matrizenmultiplikation sein), ist die Abbildung $V_1\times V_2\to W,~ X\mapsto B(f(X), g(X))$ differenzierbar und es gilt
$$ [B(f(X),g(X))]'Y = B([f(X)]' Y, g(X)) + B(f(X), [g(X)]'Y). $$
Damit kann man in deinem Beispiel sofort $[Xf(X)]'Y$ ausrechnen, ohne lauter Indizes und Summen zu benötigen.\(\endgroup\)
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Junior
Dabei seit: 18.03.2015
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-02
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Ah, vielen Dank! Das macht es deutlich verständlicher!
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