Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Stetigkeit » Abschätzung Stetigkeit
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Abschätzung Stetigkeit
mathematikerlein
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 72
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-03


Guten Morgen,

ich verstehe die folgende Abschätzung nicht ganz. $f:X\times Y \to Z$ alles normierte Räume mit endlicher Dimension und f linear in beiden Argumenten (und somit stetig bzw. beschränkt, ist ja äquivalent). In einem Beweis haben wir dann die Stetigkeit von f ausgenutzt und die 1. Abschätzung ist mir auch klar, allerdings verstehe ich die 2. nicht - warum kann man die Norm von $\|x\|$ (bzw. dann auch von y) durch die Norm am kart. Produkt abschätzen ?

$\|f(x,y)\|\leq \|f\|\|x\|\|y\| \leq \|f\| \|(x,y)\|\|(x,y)\|$ , $x\in X,y\in Y$.

Bzw. welche Norm am kart. Produkt ist damit denn gemeint ?

Besten Dank schon mal!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mathematikerlein
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 72
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-03


Wenn da noch eine Konstante C dabei stehen würde, dann würde ich es verstehen, da man ja die Normäquivalenz auf endlich-dim. Räumen verwenden könnte. Und wie ich das gerade sehe, würde damit der Beweis ebenso funktionieren. Wurde diese Konstante also möglicherweise einfach unterschlagen bzw. ohne Einschränkung auf 1 gesetzt ? 😃

oder man hat einfach als Norm am kart. Produkt das Max. der beiden Normen genommen und dann mit der Norm-Äquivalenz argumentiert...🤔



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1301
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Hi,

wie habt ihr denn die Norm auf Produkte normierter Räume definiert? Es ist $$\|(x,y) \| := \|x \| + \|y \| \geq \max(\|x \|, \|y \|). $$


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mathematikerlein
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 72
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-03


Hi,

die haben wir eben nicht definiert - aber durch ein wenig Recherche findet man ja ein paar Sachen. Danke für deine Antwort, mit der von dir angegebenen Norm wäre quasi die Konstante ja auch 1, da $\|f\|\|x\|\|y\| \leq \|f\|(\|x\|+\|y\|)(\|y\|+\|x\|) = \|f\|\|(x,y)\|^2$.

Beim Beweis wo die oben angegebene Ungleichung auftritt, ist es imo auch egal, mit welcher Norm man am kart. Produkt arbeitet, da die alle äquivalent sind und die von dir angegebene Norm erfüllt ihren Zweck, danke dir.

Grüße

P.S. soweit ich das bisher sehe, gilt eigentlich eh immer: $\|x\| \leq \|(x,y)\|$ für bel. $x\in X,y\in Y$.

Schönen Tag noch 🙂



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1301
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-03-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
2021-03-03 08:46 - mathematikerlein in Beitrag No. 3 schreibt:
Beim Beweis wo die oben angegebene Ungleichung auftritt, ist es imo auch egal, mit welcher Norm man am kart. Produkt arbeitet, da die alle äquivalent sind und die von dir angegebene Norm erfüllt ihren Zweck, danke dir.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)

Dazu kann ich nichts sagen, da ich den Beweis nicht kenne.

2021-03-03 08:46 - mathematikerlein in Beitrag No. 3 schreibt:
P.S. soweit ich das bisher sehe, gilt eigentlich eh immer: $\|x\| \leq \|(x,y)\|$ für bel. $x\in X,y\in Y$.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)

Das hängt natürlich davon ab, welche Norm man auf $X \times Y$ wählt. Aber wie erwähnt definiert man üblicherweise $\|(x,y) \| = \|x \| + \|y \|$.

Dir auch einen schönen Tag :)


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mathematikerlein
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 72
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-03


Hi,

Danke ! :)

Ich hab nun mehrere Normen im Internet gefunden, die man beim kartesischen Produkt verwendet hat (also die von dir angegebene Norm, dann $\|(x,y)\| = (\|x\|^p + \|y\|^p)^{1/p}$ oder $ \|(x,y)\| = max\{\|x\|,\|y\| \}$ etc.) und in all diesen Fällen gilt ja $\|x\| \leq \|(x,y)\|$ - nur daher kam meine Vermutung, dass diese Ungleichung immer gilt :)

Grüße



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1301
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-03-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Wenn $\|- \|$ eine Norm ist und $A$ ein Isomorphismus auf dem Vektorraum, dann ist $\|A- \|$ auch eine Norm. Insbesondere kann man z.B. $\|(x,y) \| := \frac{1}{42} \|x \| + \frac{1}{42} \| y \|$ definieren.


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mathematikerlein
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 72
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-03


Hi,

Aha ok danke, fein. 🙂 Dann verwende ich die von dir angegebene Norm weiter oben.

Grüße



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mathematikerlein hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
mathematikerlein hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]