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  Singularitäten, Residuum und Integral einer komplexwertigen Funktion |
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Jabaa2
Aktiv 
Dabei seit: 04.03.2021
Mitteilungen: 24
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Hallo zusammen,
habe mich grade hier angemeldet. Ich bin auch schon desöfteren in einem anderen Matheforum aktiv, also vielleicht kennt dort jemand meine Online Persönlichkeit ;) . Ich bin grade zurzeit in Prüfungsvorbereitung in der Complexen Analysis (dieses Modul war wohl dieses Jahr meine Schwäche), aber in meinem angestammten Forum gibt es zurzeit nur ein Forumsmitglied der mir die Sachen beantworten kann und ich möchte ungern seine Nerven überstrapazieren. Deshalb bin ich jetzt hier :) .
Also dann habe ich folgende Frage in einer Altklausur erstmal:
We consider
  
f(z)=e^(1/(z+3))+ (sin(z))/(z*(z-1))
(a) Identify all isolated singularities of f and determine their types (removable, essential or pole)
(b) Calculate the Residuum of f by 1
(c) Evaluate
int(f(z),z, \U_2(0)),
Also bei (a) gibt es wohl mehrere Möglichkeiten, ich könnte die Laurentreihen bestimmen. Diese müsste ich für alle isolierten Singularitäten bestimmen. Also für z=-3 , z=0 , z=1. Aber ich habe ein paar Verständnisprobleme dabei. Wenn ich z.B die isolierte Singularität um z=0 betrachte, dann müsste ich die Laurentreihe in 3 verschiedenen Bereichen bestimmen nähmlich in A(0,1), A(1,3),A(3,oo). Also irgendetwas verstehe ich leider noch nicht. Gilt nur der Bereich der in dem ersten Teil Bereich liegt. Für die anderen Singularitäten gäbe es ja das gleiche Problem. Ich hoffe jemand versteht meine Frage.
(Also die Frage bezieht sich darauf, dass man mit der Laurentreihe die Art der Singularität bestimmen kann, aber welche Laurentreihe muss ich den betrachten wenn ich die Laurentreihe für 3 verschiedene Bereiche bestimmen muss ? Kann auch sein das ich etwas ganz falsch verstehe und vollkommen auf dem Holzweg bin, dann würde mich euer Vorgehen bei der Aufgabe interessieren. )
Ich denke man könnte auch die Grenzwerte gegen die Sngularitäten betrachten und ich habe ein paar Theoreme im Skript die mir dabei helfn können.
Z.B wenn ich den Grenzwert
lim f(x) betrachte kommt offensichtlich ein Grenzwert heraus. (Durch L-Hospital)
z-->0
damit wäre es eine hebbare Singularität nach dem Riemanischen hebbarkeitssatz.
Bei lim f(x) kommt unendlich heraus und damit ein Pol
z-->1
( es wird ja nicht nach der Ordnung gefragt.
Bei -3 vermute ich eine wesentliche Singularität, aber diese Aussage fände ich besser mit der Laurent Reihe zu zeigen. Siehe dazu meine obere Verständnisfrage.
Mir geht es hier am ehesten um das verständnis der Laurentreihe und wie ich sie hier nutzen könnte. Also das Vorgehen wäre mir wichtiger als eine Rechnung
Ich könnte die Frage auch noch einfacher Stellen, weil ich mir hier einen Knoten ins Hirn gedacht habe:
Wie entwickle die Laurent Reihe um z.B 3 von f(x) und an dieser Laurent Reihe möchte ich auch erkennen können um welche Art der Singularität es sich handelt
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Vercassivelaunos
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|      Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-04
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Hallo Jabaa2,
grundsätzlich ist es so, dass wenn eine Funktion $f$ auf einem Ringgebiet mit Mittelpunkt $z_0$ holomorph ist, sie sich auf diesem Ringgebiet durch eine Laurentreihe mit Entwicklungspunkt $z_0$ darstellen lässt. Das gilt getrennt für jedes Ringgebiet, auf dem die Funktion holomorph ist. Du hast ja für deine Funktion beispielsweise schon drei Ringgebiete mit Mittelpunkt $0$ gefunden, auf denen $f$ jeweils holomorph ist. Für jedes dieser Ringgebiete gibt es eine eigene Laurentreihe. Zur Bestimmung des Typs der Singularität eigenet sich ausschließlich jene Laurentreihe, die für die punktierte Scheibe direkt um die Singularität herum gilt. Ein instruktives Gegenbeispiel für die anderen Fälle wäre beispielsweise die Funktion $f(z)=\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z+1}$. Sie ist auf dem Ringgebiet $\{z\in\mathbb C~\vert~\vert z\vert>2\}$ holomorph, und besitzt dort also eine Laurentreihe mit Entwicklungszentrum $z_0=0$. Ein Integral entlang eines Kreises, der einmal entgegen dem Uhrzeigersinn um das Loch dieses Ringgebiets läuft, ergibt laut Residuensatz $4\pi\mathrm i$ (die Residuen in den beiden Singularitäten sind beide 1). Dann muss der $(z-z_0)^{-1}$-Term in der Laurentreihe den Koeffizienten 2 haben. Wenn wir nach Laurentreihe gingen, hätten wir also mindestens einen Pol in $z_0$, wenn nicht gar eine wesentliche Singularität. Aber $f$ ist ja stetig in $z_0=0$, es kann also beides nicht sein.
Wenn du also die Art der Singularität in $z_0=-3$ durch eine Laurentreihe herausfinden willst, dann musst du die Laurentreihe für das Ringgebiet $\{z\in\mathbb C~\vert~0<\vert z+3\vert<3\}$ bestimmen.
Ein weiterer Tipp: der Summand $\frac{\sin z}{z(z-1)}$ ist holomorph in einer Umgebung von $-3$, hat also keinen Einfluss auf die Art der Singularität dort. Es reicht also, die Art der Singularität von $\exp\left(\frac{1}{z+3}\right)$ zu bestimmen.
Viele Grüße
Vercassivelaunos\(\endgroup\)
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Jabaa2
Aktiv
Dabei seit: 04.03.2021
Mitteilungen: 24
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04
|
Hallo Vercassivelaunos,
dankeschön für deine ausführliche Antwort. Es ist grad etwas schwer im Studium und seit dem mein letzter enge Mitstudierende abgebrochen hat, lerne ich alles alleine mit gelegentlichen Fragen im Forum. Also es ist wirklich sehr motivierend mal eine gute Erklärung zu etwas zu bekommen.
Deshalb dafür schon sehr vielen Dank!
Nun zu der Aufgabe:
Es gilt mit dem was du gesagt hast,
e^(1/(z+3))=sum(,k=0,\inf )(-1)^k *1/(2*k+1)!*1/(z+3)^(2*k+1)=sum(,k=1,\inf )(-1)^(k-1)*1/(2*k-1)!*1/(z+3)^(2*k-1) (im letzten Schritt habe ich eine Indexverschiebung gemacht, die mich später noch auf eine Frage bzgl des Residuums führt) Jetzt wandele ich es in den Hauptteil um =sum(,k=-\inf,-1) 1/((-1)^(k+1))*1/(-2*k-1)!*(z+3)^(2k+1)
Damit handelt es sich um eine wesentliche Singularität. Bei den anderen beiden mache ich es genauso, also genauer, wenn ich die Singularität um 1
betrachten will, dann betrachte ich nur
1/(1-z)
und lasse dort auch
1/z
weg und auch den Teil mit der 3 als Singularität da in einer Umgebung von 1 beide Teile keinen Einfluss auf den Hauptteil haben, also nur im Bereich einer normalen Potenzreihe etwas verändern würden.
Jetzt noch eine kurze Frage bzgl des Residuums:
Wenn ich wie oben geschrieben einen Indexschift mache, dann verändere ich gegebenfalls doch, dass Residiuum, also muss ich die Reihe immer auf die Form
sum(,k=-\inf ,-1)
bringen oder ist ein Indexshift unzuläßig ? Sorry für die blöde Frage ;)
Viele Grüße
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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1201
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-05
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Dass das Residuum bei $z=-3$ wesentlich ist, stimmt zwar, aber die Laurentreihe, mit der du das bewerkstelligt hast, ist nicht richtig. Die Exponentialfunktion hat die Reihendarstellung $\mathrm e^z=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$, entsprechend hat deine Funktion die Reihendarstellung
\[\mathrm e^{\frac{1}{z+3}}=\mathrm e^{(z+3)^{-1}}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(z+3)^{-k}}{k!}.\]
Bei den anderen beiden Singularitäten musst du außerdem noch besser begründen, wieso du einfach den jeweils anderen Faktor weglassen darfst. Faktoren wegzulassen ist etwas anderes, als Summanden wegzulassen. Beispielsweise hat $\frac{z^2}{z}$ eine hebbare Singularität bei $z=0$, aber wenn man den holomorphen Faktor $z^2$ entfernt, dann hat man $\frac1z$, was eine Polstelle hat.
Was den Indexshift angeht: Das Residuum hängt nicht davon ab, wie man die Reihe aufschreibt. Wichtig ist nur, dass das Residuum der Koeffizient zum Term $(z-z_0)^{-1}$ ist. Ob das bei $k=-1$ der Fall ist, weil man die Reihe in der Form $\sum_{k=-\infty}^\infty a_k(z-z_0)^k$ aufschreibt, oder bei $k=1$, weil sie die Form $\sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^{-k}$ hat, ist dafür nicht relevant. Zu seiner Berechnung würde ich dir in diesem Fall aber ohnehin nicht die Laurentreihe empfehlen. Das geht viel einfacher mit der Cauchyschen Integralformel. Die besagt nämlich, dass
\[\frac{1}{2\pi\mathrm i}\int_{\vert z-1\vert=\frac{1}{2}}\frac{\sin z}{z(z-1)}\mathrm dz=\frac{\sin 1}{1}.\]
Nach Residuensatz ist das aber auch gerade das Residuum.\(\endgroup\)
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Jabaa2
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05
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Hey Dankschön für deine Antwort, war gestern spät und habe wohl einfach die Sinusreihe drübergelegt anstatt die exp-Reihe ;) . Jetzt ist erstmal alles geklärt. ich scheibe es später nochmal richtig auf und bearbeite noch die beiden anderen Fragenmithilfe des Residuensatzes mit der ich das Integral ausrechnen können müsste
Vielen Dank
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Jabaa2
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05
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Also wie wir schon geklärt haben handelt es sich bei der Singularität um -3 um eine wesentliche Singularität.
Die anderen beiden Singularitäten würde ich dann auch ( nach deinem Tipp) lieber mit dem Riemanischen Hebarkeitssatz zeigen, also den Limes dagegen betrachten.
Dabei kann ich auch nur den Limes von f(x) betrachten, ohne den Teil in der die -3 Singularität liegt. Ich bekomme schnell mithilfe von L-Hopital -1 als Grenzwert für f heraus für den Limes z gegen 0. Damit ist er Hebbar
Das selbe mache ich mit dem Grenzwert z gegen 1. Für f(z) gegen 1 ist der Grenzwert unendlich also unbeschränkt. Damit hätte ich einen Pol.
Wenn ich aber f(z)*(z-1) betrachte bekomme ich einen Grenzwert, also ein Pol erster Ordnung.
Damit hätte ich alle Singularitätenüberprüft und die Art bestimmt.
Zur (b)
Da a_n=1/(2*pi)*int(f(z)/(z-z)^(n+1),z,U_\epsilon(z_0)) ist a_(-1)=1/(2*pi)*int((sin(z)*z^(-1))/(z-1),z, |z-1|| < 1) und mit der Cauhy Integralformel: =sin(1)
Damit ist (b) auch schnell geschafft.
(c)
Denke ich sollte man den Residuensatz anwenden. Damit gilt dann:
int(f(z),z,U_2(0),)=2*pi(n(U_2(0),1)*sin(1)+n(U_2(0),res(0))=2*pi*sin(1) dabei bezeichnet n die Windungszahl und sin(1)= res(1) und natürlich res(0)=0 ich schätzemit del U_2(0) ist eine einfache Umrundung mit Radius 2 gemeint also ist n(U_2(0),0)=n(U_2(0),1)=1 und damit sollte die Aufgabe hoffentlich vollkommen richtig sein und damit geschafft ;) ?
Dankeschön und viele Grüße
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Jabaa2
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05
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Vercassivelaunos
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-03-05
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Ja, die Lösung sieht beim Überfliegen so richtig aus.
Der Grund, warum die Faktoren bei der Bestimmung der Art der Singularität weggelassen werden dürfen, ist, dass sie in einer Umgebung der Singularität holomorph und ungleich $0$ sind. Hat nämlich die holomorphe Funktion $f=gh$ mit ebenfalls holomorphen Faktoren $g$ und $h$ eine Singularität in $z_0$ und ist $h$ holomorph in die Singularität fortsetzbar mit $h(z_0)\neq0$, dann gilt:
1. $f$ ist genau dann stetig (und damit holomorph) nach $z_0$ fortsetzbar, wenn $g$ stetig (und damit holomorph) nach $z_0$ fortsetzbar ist.
2. Gleiches gilt für $(z-z_0)^mf(z)$ und $(z-z_0)^m g(z)$.
$f$ hat also genau dann eine hebbare Singularität, wenn $g$ das hat, genau dann einen Pol der Ordnung $k$, wenn $g$ ihn hat, und damit automatisch genau dann eine wesentliche Singularität, wenn $g$ auch eine hat. Punkt 1 zu zeigen ist eine leichte Übungsaufgabe, und Punkt 2 funktioniert exakt gleich, nur dass man im Beweis überall noch den Faktor $(z-z_0)^m$ mitschleppt.\(\endgroup\)
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Jabaa2
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Mitteilungen: 24
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05
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Hey herzlichen Dank du hast mir sehr geholfen, ich weiß nicht wie man einen Beitrag beendet aber jetzt sind wirklich alle Fragen die ich in diesem Beitrag stellen wollte beantwortet. Vielen Dank.
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