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| Autor |
  Verallgemeinerte Cantormenge |
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Phoensie
Aktiv 
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 442
Wohnort: Muri AG, Schweiz
 |  Themenstart: 2021-03-05
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Liebe Matheplanetarier
Sei $0 < a < 1$. Ich möchte eine allgemeine Cantormenge $\mathcal{C}_a$ konstruieren mit Lebesguemass $\operatorname{Vol}(\mathcal{C}_a)=a$. Ich konnte zeigen, dass die gewöhnliche Cantormenge Lebesguemass $\mathcal{C}=0$ hat.
Mein Ansatz:
Sei $0\(\endgroup\)
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 Profil
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sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-05
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Hallo Phoensie,
\quoteon(2021-03-05 16:16 - Phoensie im Themenstart)
Mit Nachrechnen erreiche ich jedoch
\[
\begin{align*}
\operatorname{Vol}(\mathcal{C}_a)
&= \operatorname{Vol}(A_0) - \operatorname{Vol}(A_0 \setminus \mathcal{C}_a) \\
&= 1 - \operatorname{Vol}(A_0 \setminus \mathcal{C}_a) \\
&= 1 - \operatorname{Vol}\left( \bigsqcup_{n=0}^\infty \bigsqcup_{k=1}^{2^{n-1}} \left( p_k - \frac{a^n}{2} \, ; \, p_k + \frac{a^n}{2} \right)\right)
\\
&= \frac{1-4a}{2-4a}
\end{align*}
\]
\quoteoff
Ich denke das Ergebnis ist nicht richtig. Es muss doch \(\operatorname{Vol}(C_0)=1\) und \(\operatorname{Vol}(C_{\frac{1}{3}})=0\) sein (klassische Cantor-Menge). Die Vereinigung beginnt wohl eigentlich erst bei \(n=1\). Ich hatte dann \(\frac{1-3a}{1-2a}\) raus (\(0\leq a\leq\frac{1}{3}\)), was auch besser zu den oben genannten Eigenschaften passt.
Gibst Du Dir nun ein \(b\in[0,1]\) vor, so kannst Du \[\operatorname{Vol}(C_a)=\frac{1-3a}{1-2a}=b\] eindeutig nach \(b\) auflösen, erhältst also \(a(b)\in[0,\frac{1}{3}]\) mit \(\operatorname{Vol}(C_{a(b)})=b\). Wenn Du nun \(C_b':=C_{a(b)}\) setzt, dann hast du eine allgemeine Cantormenge mit \(\operatorname{Vol}(C_b')=b\).
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Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 442
Wohnort: Muri AG, Schweiz
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
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\quoteon(2021-03-05 18:04 - sonnenschein96 in Beitrag No. 1)
Die Vereinigung beginnt wohl eigentlich erst bei \(n=1\).
\quoteoff
Das klingt sehr einleuchtend (schliesslich nimmt man im $0$-ten Schritt ja eigentlich noch gar nichts weg). Danke dir für den Hinweis. Ich werde mir deine Überlegung genauer anschauen und nachzuvollziehen versuchen.
In der Zwischenzeit merke ich an, dass (wenn ich mich nicht erneut vertan habe) das Konstrukt, wenn man anstatt wie bei der Cantormenge im $n$-ten Schritt mittlere Teile der Länge $\frac{1}{3^n}$ nun im $n$-ten Schritt mittlere Teile der Länge $\frac{1-a}{3^n}$ entfernt, ebenfalls dann zum gewünschten Ziel führen sollte.😉
Gruss Phoensie\(\endgroup\)
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