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Universität/Hochschule Vorteile von Matrix-Zerlegungen
Chrebi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-06


Hallo,
Wir haben sehr viele Zerlegungen von Matrizen kennengelernt.
Allgemein weiß ich, dass sie zb zur Bestimmung von Eigenwerten und zur Lösung linearer Gleichungssysteme dienen.
Aber da es so viele gibt, gibt es ja anscheinend noch weitere Vorteile die sie gegeneinander haben....
Ich möchte verstehen, warum wir die unterschiedlichen Verfahren einführen und warum sie alle wichtig sind.

Also, bei Zerlegungen wie LR dient es ja dem Rückwärtseinsetzen von invertierbaren Matrizen zum Lösen eines Gleichungssystems.
Ich frage mich, was die LDR-Zerlegung (also in der Mitte noch eine Diagonalmatrix) für einen Vorteil schafft? Die Eigenwerte sind doch sowohl bei LR als auch bei LDR von einer Diagonalen ablesbar.

Sehe ich das richtig, dass die Schur-Zerlegung und allgemein Spektralzerlegungen mit unitären Matrizen vor allem für Beweise und Bestimmung der Eigenwerte verwendet werden?

Die QR-zerlegung dient ja auch Matrizen die nicht invertierbar sind, so wie die Arnoldi und die und die Lanczos Zerlegung. Ich habe auch gesehen, dass diese drei Verfahren verwendet werden, um bei sehr großen Matrizen Eigenwerte abzuschätzen...

Die Singulärwertzerlegung lässt Singulärwerte ablesen, die ich zwar noch kaum verwendet habe, aber an manchen Stellen bestimmt wichtig werden. Und die Polarzerlegung zerlegt die Matrix in eine hermitesch positiv definite und eine unitären Matrix, was ja auch oft Vorteile verschafft.

Falls ihr bei den letzten beiden Absätzen noch was korrigieren oder anmerken könnt, freue ich mich. Und v.a. wenn ihr auf meine oberen Fragen eingehen könnt.






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