Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von goeba
Mathematik » Didaktik der Mathematik » -1*(-1)=1 Erklärung
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule -1*(-1)=1 Erklärung
WilliW
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 10.01.2015
Mitteilungen: 196
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-06


Hallo,
wie kann man (anschaulich) erklären, dass -1*(-1)=1
Vielen Dank im voraus! :)
VG
WilliW



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6827
Wohnort: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-06


Hallo,

da du im Didaktik-Forum gepostet hast: könntest du dein Anliegen einmal noch etwas präzisieren?

Ich gehe einmal davon aus, dass du den Sachverhalt selbst verstanden hast aber auf der Suche bist nach geeigneten Analogien, um das plausibel zu machen. Dann wäre meine erste Frage, wer da so die Zielgruppe ist?


Gruß, Diophant



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
WilliW
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 10.01.2015
Mitteilungen: 196
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-06


Hallo,
genau ich habe es verstanden, aber mein Problem ist, dass ich es einem Schüler/ einer Schülerin nicht erklären könnte. Momentan lerne ich für eine Didaktikklausur an der Uni und stehe vor der Frage, wie ich das am Besten visuell darstellen kann.
VG



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wario
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 397
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-06


· Für Schüler ggf. ausreichend:

(1)  -a entspricht einem "Nein zu a".

(2)  -(-a) ist die Verneinung eines Neins ("Ich gehe nicht nicht zum Supermarkt"). Also -(-a) = a.

(3) -a = (-1)·a

(4) (-a) · (-b) = (-1)·a · (-b)
       = a·((-1)·(-b)) = a · (-(-b))
       = a · b

· Ausführlich und korrekt:
de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Folgerungen_aus_den_Körperaxiomen



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6827
Wohnort: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-03-06


Es kommt eben auch noch auf das Alter an. Ich habe früher viel Nachhilfe gegeben und gerne mit folgendem Gedankenexperiment gearbeitet: ich (bzw. ich habe meine Schüler da immer mit einbezogen und in der 'Wir-Form' gesprochen) habe eine Firma, und die Firma hat Schulden. Und zwar 1 Million Euro, um genau zu sein. In Millionen sind das dann eben die -1.

Jetzt bekomme ich die Gelegenheit, die Firma zu verschenken (oder, falls die SuS dieses Konzept schon nachvollziehen können bzw. kennen) für einen symbolischen Preis zu verkaufen. In meine persönliche Buchhaltung müsste ich den Abgang des Firmenwerts ja mit einer negativen Zahl verbuchen. Man könnte auch sagen, wenn W der Wert der Firma ist, dann müsste in die Buchhaltung ein Abgang bzw. ein Betrag in Höhe von (-1)*W eingetragen werden (wobei in unserem Fall aber W=-1 ist!).

So, jetzt resümieren wir einmal. Als ich die Firma noch besessen habe, hatte ich 1 Million Schulden. Nach dem Verschenken habe ich nix mehr, insbesondere keine Schulden. Ich habe also einen Gewinn von (-1)*(-1)=1 Million Euro gemacht!

Das mag ziemlich konstruiert daher kommen (und ist es auch, um ehrlich zu sein). Es hat aber eigentlich meistens seinen Dienst getan: die Regel "Minus mal Minus gleich Plus" leuchtete den meisten Schüler*innen nach dieser Geschichte besser ein als vorher.

Mit einer mathematischen Argumentation hat das jedoch nichts zu tun, das ist mir schon klar. Ich würde eine solche Analogie so grob zwischen Klasse 6 bis 9 für sinnvoll halten.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
WilliW
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 10.01.2015
Mitteilungen: 196
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-06


Vielen Dank für Eure Antworten! :)
VG
WilliW



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2056
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Vielleicht hilft auch das Betrachten der Graphen der Funktionen $f \colon \IR \to \IR$; $f(x) = ax$ mit variablem $a$. Wenn ihre Dynamik verstanden und akzeptiert wird, braucht man nur noch $a=-1$ zu setzen und die Funktion an der Stelle $x=-1$ auszuwerten.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6827
Wohnort: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@tactac:
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)2021-03-06 18:26 - tactac in Beitrag No. 6 schreibt:
Vielleicht hilft auch das Betrachten der Graphen der Funktionen $f \colon \IR \to \IR$; $f(x) = ax$ mit variablem $a$. Wenn ihre Dynamik verstanden und akzeptiert wird, braucht man nur noch $a=-1$ zu setzen und die Funktion an der Stelle $x=-1$ auszuwerten.
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Genau. Das wären dann so die Möglichkeiten, die man etwa ab der 9. Klasse zur Verfügung hätte. Davor sind aber Analogien aus dem Alltag (soweit möglich) i.d.R. schon sehr nützlich.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
lula
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11210
Wohnort: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-03-06


Hallo
 auch junge SuS sehen ein , daß 1*(-1)=(-1)*wir wollen dass das Assoziativgesetzt immer gilt:
 (-1)*(-1)=1 denn  wenn ich es mit -1 multipliziere steht da (-1)*(-1)*(-1)=1 *(-1)=-1 also [(-1)*(-1)]*(-1)=-1  deshalb muss [--]=1
das ist besser als lange Geschichten .
oder 0*(-1)=0  also (1-1)*(-1)=1*-1+(-1)*(-1)=-1+?=0

oder am Zahlenstrahl: Multiplikation mit -1 spiegelt an der 0
  ich finde es besser Innermathematisch zu bleiben als negative Zahlen mit Schulden zu verbinden.
Gruß lula
 


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2056
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Was auch in allgemeinen Ringen funktioniert: (-1)*(-1) ist 1, weil allgemein $--x = x$ und $(-x)y = -(xy) = x(-y)$, was wiederum gilt, weil wegen der Distributivität Links- und Rechtsmultiplikation mit einem Element Halbgruppenendomorphismen auf der additiven Gruppe sind, und Halbgruppenhomomorphismen zwischen Gruppen das neutrale Element und Inverse erhalten.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
pzktupel
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 1895
Wohnort: Thüringen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-03-06


...


-----------------
zum Primzahl k-Tupel Thread
PDFs on "Mathematik alpha"
Hinweis: MP-Notizbuch



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
viertel
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27783
Wohnort: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Das mit der Spiegelung an der $0$ bei Multiplikation mit $(-1)$ erscheint mir am nachvollziehbarsten.

Wenn akzeptiert ist, daß $5  \cdot (-1)=-5$ ist, dann müßte es ebenso einleuchten, daß $(-5) \cdot (-1)=5$ ist.
Und wenn ich nun bei dieser Gleichung wiederum beide Seiten mit $(-1)$ multipliziere, dann habe ich:
\[(-5) \cdot (-1)=5 \\
(-5) \cdot (-1) \cdot (-1)=5 \cdot (-1) \\
(-5) \cdot (-1) \cdot (-1)=-5
\] Damit bleibt aber nur die Option, daß
\[(-1) \cdot (-1)=1\] gilt, damit auf der linekn Seite auch eine $-5$ steht.

Oder kürzer und direkter: wenn
\[(-5) \cdot (-1)=5\] ist, oder auch
\[(-8) \cdot (-1)=8\] Dann kann ich statt der $5$ bzw. der $8$ auch eine $1$ schreiben:
\[(-1) \cdot (-1)=1\]
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
reik
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.01.2010
Mitteilungen: 154
Wohnort: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2021-03-06


Spiegelung halte ich auch für eine gute Erklärung! Es schließt sich an die komplexe Betrachtungsweise mit Multiplikation als Drehung sauber an: $(-1) \cdot (-1) = e^{i\pi}\cdot e^{i\pi} = e^{i\cdot 2\pi} = 1$.

Euler argumentiert mit Ausschlussverfahren in der Anleitung zur Algebra (ich bevorzuge eine englische Übersetzung für bessere Lesbarkeit):







Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2120
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2021-03-07


Als Ergänzung hier der entsprechende Abschnitt aus der Vollständigen Anleitung zur Algebra auf Deutsch:


PS  xkcd



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
viertel
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27783
Wohnort: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2021-03-07

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Der (falsch notierte) Titel gibt eigentlich auch einen guten Hinweis.

Denn er sollte natürlich $(-1) \cdot (-1)=1$ heißen.
Dort steht aber $-1 \cdot (-1)=1$, was, um Klammern ergänzt, so zu lesen ist (Punkt vor Strich):
\[\begin{align*}
-1 \cdot (-1) &= -\Bigl(1*(-1)\Bigr) \\
&= -\Bigl(-1\Bigr) \\
&= 1
\end{align*}\] Denn $-(-1)=-1$ würde absolut keinen Sinn ergeben.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6823
Wohnort: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2021-03-08


Dass $-(-x)=x$ ist, wird hier so ganz selbstverständlich angenommen.
Diesen Schritt würde ich aber noch mit einbeziehen.

Ich würde anfangen mit der Frage: "Was ist $-x$?" Der Mathematiker würde sagen "Das ist die Inverse von $x$ bezüglich der Addition, also die Zahl, die man zu $x$ addieren muss, um $0$ zu erhalten. Es gilt also immer $x+(-x)=0$. Damit wird aber auch klar, was die Inverse von $-x$ ist. Welche Zahl muss ich zu $-x$ addieren, um $0$ zu erhalten? Das ist $x$! Es gilt also $-(-x)=x$.
Im nächsten Schritt kann man sich fragen, was $(-1)\cdot x$ ist. Wegen $0\cdot x=0$ und $1\cdot x=x$ sagt uns das Assoziativgesetz: $0=0\cdot x=(1+(-1))\cdot x=1\cdot x + (-1)\cdot x= x+(-1)\cdot x$. $(-1)\cdot x$ ist also das additive Inverse von $x$, also $-x$.

Damit hat man dann die beiden Schritte zusammen $(-1)\cdot(-1)=-(-1)=1$.

Leider ist das ein rein innermathematischer Beweis. Wir haben gezeigt, wenn wir an Addition und Multiplikation bestimmte Anforderungen stellen (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Existenz von 0- und 1-Elementen und additiven Inversen, ...), dann _muss_ $(-1)\cdot(-1)=1$ sein.

Was wir nicht gezeigt haben: Beim Rechnen mit bestimmten physikalischen Größen (Längen, Flächen, Massen, Zeiten, Währungen, ...) _müssen_ die oben genannten Voraussetzungen (z.B. Assoziativgesetz) erfüllt sein.
Diesen Nachweis kann die Mathematik auch nicht erbringen. Die Mathematik kann mir sagen, dass $1+1=2$ ist, aber ob $1mag+1mag=2mag$ (siehe hier) ist, kann mir die Mathematik nicht sagen, weil sie (von alleine) nicht weiß, welche Rechenregeln für scheinbare Helligkeiten gelten.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Algebravo
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.04.2021
Mitteilungen: 29
Wohnort: Bielefeld
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2021-04-17 17:27


(Ähnlich wie der Vorschlag von Diophant, aber auf noch weitere Rechengesetze in den ganzen Zahlen erweiterbar ^^)

Ich kenne aus meiner eigenen Schulzeit noch das Arbeiten mit Schuld- und Gutscheinen. Da kann man auch ein schönes Gesellschaftsspiel draus basteln, das man einige Unterrichtsstunden spielen und untersuchen kann. Indem beispielsweise Ereigniskarten verwendet werden, nach dem Motto: „Du hast dein Getränk bei McDonalds nicht bezahlt. Nimm einen Schuldschein.“ Der Fantasie sind da keine Grenzen gesetzt. Es ist nur für die Auswertung wichtig, dass die Schüler*innen Buch über ihre Finanzen führen.

Schüler*innen verstehen ziemlich schnell, dass EIN Schuldschein ein guter Platzhalter für die Zahl $-1$ ist. Wenn man dann im Laufe des Spiels einen Schuldschein abgibt (durch irgendeine Ereigniskarte), werden die Schüler*innen bemerken, dass ihr absolutes Guthaben um eine Einheit gestiegen ist. Also  „Abgeben eines Schuldscheins“ gerade „$-(-1)=1$“ entspricht.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6827
Wohnort: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2021-04-17 19:40


Noch ein Zusatz zu dem Thema: es ist irgendwie ja auch symptomatisch, dass die Frage im Rahmen der Vorbereitung auf eine Didaktik-Klausur aufgekommen ist und nicht aus einer realen Unterrichts-Situation heraus.

Nach meiner Erfahrung aus mehr als 20 Jahren Nachhilfeunterricht (mit durchschnittlich 15-20 Schüler*innen pro Woche) ist das ein eher vernachlässigbares weil recht seltenes Problem. Und für diese eher seltenen Fälle hatte ich mir eben die Geschichte aus #4 vor Jahren ausgedacht...


Gruß, Diophant



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
WilliW wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]