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Funktionentheorie » Integration » Residuensatz
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Universität/Hochschule Residuensatz
Matheistcool
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-08


Hallo,
ich habe die Funktion $f(z) = \sin\left( \frac{1}{z-1} \right) + (z-1)$ gegeben und soll $\int_\gamma (z-1)^k \cdot f(z)$ für alle $k \in \mathbb{Z}$ berechnen, wobei $\gamma = 3e^{it}$ mit t von 0 bis $2\pi$ ist.
Mir fehlt hier leider etwas der Ansatz. Ich würde gerne den Residuensatz anwenden.
Wäre z=1 ein Pol, hätte ich im Skript einen Satz, der mir sagt, wie ich das Residuum von $(z-z_0)^k \cdot f(z)$ berechnen kann. Allerdings ist das ja eine wesentliche Singularität, richtig? Und hierfür finde ich leider nichts im Skript und habe auch keine Idee, wie das funktionieren soll.
Hat da jemand einen Tipp für mich?

Danke schon mal!



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

du liegst mit dem Residuensatz schon ganz richtig.

Vielleicht fällt es dir leichter, wenn du \( w=z-1\) substituierts, dann ist die Singularität im Nullpunkt, und du kannst aus der Potenzreihe des Sinus die Laurententwicklung herleiten - aber du brauchst ja auch nur \( a_{-1}\).

Viele Grüße

Wally

P.S. Beim dritten Mal rechnest du das in Kopf..
\(\endgroup\)


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Matheistcool
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-08


Hallo, danke für die Antwort!

Ich habe die Substitution w=z-1 vorgenommen.
Für die Laurentreihe bekomme ich dann $f(w) = \sum_{n=-\infty}^{-1} (-1)^n \cdot \frac{w^{2n+1}}{(-2n-1)!} + w $, falls ich mich nicht verrechnet habe. Muss/kann ich die noch weiter vereinfachen oder reicht das so als Laurentreihe?

Dann folgt: $w^k \cdot f(z) = \sum_{n=-\infty}^{-1} (-1)^n \cdot \frac{w^{2n+1+k}}{(-2n-1)!} + w^{k+1}$.

$a_{-1}$ erhalte ich dann ja für $2n+1+k=-1$, also für $n = \frac{k-2}{2}$. Also wäre $a_{-1} = (-1)^{\frac{k-2}{2}} \cdot \frac{1}{(-2 \cdot \frac{k-2}{2}-1)!}$, richtig? Und das vereinfache ich dann und wende den Residuensatz an.

Stimmt die Vorgehensweise so?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Du brauchst doch keine ganze Laurentreihe, weil du direkt aus \( f(w)=\) den Koeffizienten von \( w^{-1}\) ablesen kannst.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Matheistcool
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-08


Wie kann ich den Koeffizienten $w^{-1}$ denn ohne Laurentreihe bestimmen? Das sehe ich hier leider noch nicht so ganz.

Und wenn ich die Laurentreihe doch bestimmt habe, ist mein Vorgehen dann richtig? Also unabhängig davon, ob ich mich vielleicht irgendwo verrechnet habe, nur so vom Prinzip her.

Danke :)



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Ich habe keine Ahnung, warum du \( f(w)\) mit \( w^k\) multiplizieren willst.

Das Residuum steht in der Laurentreihe da, wo der Exponent \( -1\) ist, also bei \( n=-1\).

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Matheistcool
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-08


Danke für deine Antwort.

Ich möchte das mit $w^k$ multiplizieren, weil ich ja die Funktion $w^k \cdot f(w)$ integrieren will. Also war meine Idee, meine Laurentreihe von f(w) herzunehmen und mit $w^k$ zu multiplizieren. Dann kann ich $a_{-1}$ ablesen. Ist das nicht richtig?

Und zu deiner Antwort: Aber brauche ich nicht genau dafür die Laurentreihe? Denn wenn ich jetzt nur den Sinus als $\sin \left( \frac{1}{w} \right)$ vor mir habe, wüsste ich nicht, wie ich dort $a_{-1}$ ablesen soll, ohne das irgendwie zu entwickeln.

Ich glaube, ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch :D



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