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Mathematik » Topologie » Es gibt keine zu [0,1] homöomorphe topologische Gruppe
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Universität/Hochschule J Es gibt keine zu [0,1] homöomorphe topologische Gruppe
Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Hallo zusammen.

Definition.
Ein topologischer Raum $X$ heisst homogen, wenn für alle $x,y \in X$ ein Homöomorphismus $h:X \to X$ existiert mit $h(x)=y$.

Um die im Titel angesprochene Behauptung zu beweisen, habe ich folgende Dinge umgesetzt:

Lemma.
Alle topologischen Gruppen sind homogene Räume.
Beweis Lemma.
Für beliebige, gegebene $x,y \in G$ einer topologischen Gruppe $G$ ist die Abbildung \[G \to G,\,g \mapsto yx^{-1}g\] ein Homöomorphismus, der $x$ auf $y$ abbildet.

Zum Beweis der Aufgabe.
Ich konnte nun mittels eines Widerspruchsbeweises zeigen, dass $[0;1]$ nicht homogen sein kann. Folglich kann $[0;1]$ keine topologische Gruppe sein.

Bin ich nun fertig? Es geht ja um eine topologische Gruppe, die homöomorph zum Einheitsintervall ist... also denke ich fehlt noch eine Kleinigkeit... bzgl. der Homöomorphie...

LG Phoensie
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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Hi,

wieso zweifelst du? Angenommen, $[0,1]$ könnte man die Struktur einer topologischen Gruppe geben, dann wäre sie homogen, doch das ist sie nicht, Widerspruch. (Hier wendet man insgeheim einen Vergissfunktor an.)

Das Gleiche hattest du doch auch hier letztens schon. Triceratops hat genau den Beweis gegeben, den du skizzierst.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Lieber Kezer

Brauche ich nicht hierfür noch folgende Implikation?
\[
\begin{cases}
X \text{ ist topologische Gruppe} \\
Y \text{ ist topologischer Raum} \\
f: X \to Y \text{ ist ein Homöomorphismus}
\end{cases}
\implies
Y \text{ ist topologische Gruppe}.
\]
\(\endgroup\)


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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Hi,

die Gruppenstruktur bekommst du durch Transport of Structure.

Andersherum kannst du auch so argumentieren: Sei $Y$ eine topologische Gruppe, welche homöomorph zu $[0,1]$ ist. Homöomorphismen erhalten Homogenität, folglich müsste $[0,1]$ homogen sein. Widerspruch.


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