Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Dixon Orangenschale
Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Bedeutung der Clebsch-Gordan Koeffizienten
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Bedeutung der Clebsch-Gordan Koeffizienten
Quantenfreak
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 03.03.2021
Mitteilungen: 21
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-08


Hallo Matheplanet!

In der Vorlesung haben wir die Addition von Drehimpulsen behandelt. Dabei sind schließlich die Clebsch-Gordan Koeffizienten zur Sprache gekommen. Ich weiß, dass es zwei Sätze kommutierender Observablen gibt: \(\mathbf{J}_1^2,\mathbf{J}_2^2,J_{1,z},J_{2,z}\) und \(\mathbf{J^2},J_z,\mathbf{J}_1^2,\mathbf{J}_2^2\) (für den letzten genügen streng genommen bereits die zwei ersten Operatoren).

Aus welchem Grund suchen wir eine Eigenbasis in der \(\mathbf{J}^2\) diagonal ist? In der "alten" Tensorproduktbasis hat dieser Operator doch schon Blockdiagonalgestalt. Reicht das nicht? Für welche konkreten Anwendungsbeispiele ist die Transformation der Basiszustände notwendig?




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 780
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-08


Hallo!


In der "alten" Tensorproduktbasis hat dieser Operator doch schon Blockdiagonalgestalt.

Das mag schon sein, aber eventuell nicht z.B. der Hamilton-Operator. Ein typisches Beispiel ist etwa das Helium-Atom: hier gilt $[\hat H,\hat J^2]=0,$ nicht aber z.B. $[\hat H,\hat J_1^2]=0$. Die Clebsch-Gordon-Koeffizienten transformieren jetzt deine Basis, sodass du eine irreduzible Darstellung bekommst. Ein anderes Beispiel wäre Spin-Bahn-Kopplung: auch dort hast du nur die Symmetrie, wenn du mit addierten Drehimpulsen/Spins arbeitest, denn $\hat{\mathbf L}\cdot\hat{\mathbf S}=\frac{1}{2}(\hat J^2-\hat L^2-\hat S^2)$.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Quantenfreak
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 03.03.2021
Mitteilungen: 21
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-09


Hallo Tirpitz,
vielen Dank für deine Antwort. Mit Homomorphismen und der Darstellungstheorie kenne ich mich nur wenig aus. Verstehe ich dich richtig wenn ich sage, dass wir nach einer Basis aus Eigenzuständen suchen in der \(\mathbf{J}^2\) und der Hamiltonoperator Diagonalgestalt haben? Vielleicht kannst du mir noch in einfachen Worten beschreiben was der Vorteil einer irredudizblen Darstellung ist.




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 780
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-09


Wenn du mit Diagonalgestalt Block-Diagonal (für z.B. jeden Eigenwert von $\hat J^2$) meinst, dann ja. Welchen Vorteil man hat? Das hängt vom genauen Problem ab. Generell vereinfachen dir die irreduziblen Darstellungen jede Rechnung, aus einem großen Problem machst du viele kleine (für jeden Block). Im Falle z.B. der Spin-Bahn-Kopplung hättest du mit der Basis aus gemeinsamen Eigenvektoren die Möglichkeit, $\langle \hat{\mathbf L}\cdot\hat{\mathbf S}\rangle$ (und damit Verschiebungen im Spektrum) auszurechnen: wenn dein Teilchen im Eigenzustand des Systems ist, ist es insbesondere auch im Eigenzustand vom Spin-Bahn-Kopplungsoperator und dessen Erwartungswert somit trivial zu bestimmen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Quantenfreak
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 03.03.2021
Mitteilungen: 21
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-09


So ganz blicke ich da noch nicht durch. Ich führe mal ein konkretes Beispiel an. Die Addition zweier Spin-\(1/2\). Die Darstellungsmatrix des Operators \(\mathbf{S}^2\) hat in der Produkt-Basis der Zustände \(\{\vert s=1/2,m_s=\pm 1/2\rangle\}\), also

\[\vert \uparrow\uparrow\rangle, \vert \uparrow\downarrow\rangle, \vert \downarrow\uparrow\rangle, \vert\downarrow\downarrow\rangle\]
ja bereits Blockdiagonalgestalt (siehe z.B. Cohen Tannoudji, Band 2, 3. Auflage, Seite 193)

\[\mathbf{S^2}=\hbar^2
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\]
Zur Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren kann man dann einfach die jeweiligen Untermatrizen betrachten. Habe ich in diesem Fall schon eine irreduzible Darstellung?

Ich dachte der Sinn hinter der Transformation mit den CGK ist eine Basis zu finden in der \(\mathbf{S}^2\) vollkommen diagonal ist. Dann vereinfacht sich das Problem noch weiter denn wegen \([\mathbf{S}^2,H]=0\) (im Falle eines rotationssymmetrischen Potentials) kann der Hamiltonoperator simultan diagonalisiert werden.

Insbesondere ist \(\mathbf{S}^2\) nicht von der Zeit abhängig, sodass es sich um eine Erhaltungsgröße handelt. Dann kann statt der stationären Schrödingergleichung

\[H\vert\psi\rangle=E\vert\psi\rangle\]
auch einfach

\[\mathbf{S}^2\vert\psi\rangle=\eta\vert\psi\rangle~~~~\eta\in\mathbb{R}\]
gelöst werden.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
moep
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.06.2006
Mitteilungen: 1758
Herkunft: karlsruhe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-10


Es geht nicht darum, einen einzelnen Operator zu diagonalisieren, sondern - wie du ja schon im ersten Post geschrieben hast - um verschiedene Saetze kommutierender Operatoren.

Mit anderen Worte: Es geht darum, welche verschiedene physikalischen Observablen gleichzeitig gemessen werden koennen.

Wenn du nun einen Zustandsraum hast, der als Tensorprodukt von zwei "elementaren" Systemen (= irreduzible Darstellung) besteht (in deinem Beispiel geht es um 2 Spins. Dann gibt es die "natuerliche" Basis, die aus den Tensorprodukten der Basiselemente von jedem einzelnen System besteht (in deinem Beispiel sind das jeweils die Eigenvektoren von ${\bf J}_i$ und $J_{i,z}$). Diese Basis muss aber nicht unbedingt die beste fuer alle Rechnungen/Beschreibungen des Systems sein. Z.B. willst du ${\bf J}^2$ messen/beschreiben. Dazu musst du also eine Eigenbasis des Tensorprodukt-Raums bzgl. ${\bf J}^2$ bestimmen. In deinem Beispiel gibt es aber einen degenerierten Unterraum von Dimension 2, und um die Basisvektoren davon unterscheiden zu koennen, ziehst du einen weiteren Operator hinzu, der mit ${\bf J}^2$ kommutiert, und dessen Eigenwerte auf diesem Unterraum nicht degeneriert sind.

Die Clebsch-Gordan Koeffizienten beinhalten in dem Fall nichts anderes als die Information, wie du von einer Basis in die andere gehst.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Quantenfreak
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 03.03.2021
Mitteilungen: 21
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-12


Vielen Dank für deine Nachricht. Damit bin ich zufrieden.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Quantenfreak hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Quantenfreak hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]