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Mathematik » Geometrie » Lagebeziehungen zweier Kreise
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Universität/Hochschule J Lagebeziehungen zweier Kreise
steve_g
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-09


Hallo,
Ich suche Beweise für die Lagebeziehungen zweier Kreise: (R1 und R2 sind die Radien; d ist der Abstand der Mittelpunkte)
Warum gilt r1+r2<d oder r1-r2>d wenn es keinen Schnittpunkt gibt
Warum gilt r1+r2=d oder r1-r2=d wenn es genau einen Schnittpunkt gibt
Warum gilt r1+r2>d und r-1-r2<d wenn es genau zwei Schnittpunkte gibt

Meine Ideen: Graphisch lässt sich alles gut erklären, aber ich brauche den rechnerischen Ansatz als Beweis.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

2021-03-09 11:28 - steve_g im Themenstart schreibt:
Hallo,
Ich suche Beweise für die Lagebeziehungen zweier Kreise: (R1 und R2 sind die Radien; d ist der Abstand der Mittelpunkte)
Warum gilt r1+r2<d oder r1-r2>d wenn es keinen Schnittpunkt gibt
Warum gilt r1+r2=d oder r1-r2=d wenn es genau einen Schnittpunkt gibt
Warum gilt r1+r2>d und r-1-r2<d wenn es genau zwei Schnittpunkte gibt

Meine Ideen: Graphisch lässt sich alles gut erklären, aber ich brauche den rechnerischen Ansatz als Beweis.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Könntest du das einmal noch näher ausführen (was du insbesondere unter einem rechnerischen Beweis verstehst)?

Geht es hier um Elementargeometrie oder um analytische Geometrie?

Grundsätzlich würde ich die Differenzen der Radien in Betragsklammern setzen, sofern nicht zusätzlich noch \(r_1\ge r_2\) gefordert wird.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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steve_g
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-09


Ich muss zeigen, dass diese Ungleichungen zutreffen, falls sich Kreise schneiden oder nicht. Sprich wie kann ich rechnerisch auf diese Ungleichungen kommen? Wie sind diese Ungeleichungen mathematisch beweisbar, dass sie immer gelten.




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-09


Hallo,

2021-03-09 11:38 - steve_g in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich muss zeigen, dass diese Ungleichungen zutreffen, falls sich Kreise schneiden oder nicht...

Das habe ich schon verstanden. Meine Rückfrage hatte den Sinn und Zweck, zu klären, welche Mittel da so zur Anwendung kommen sollen bzw. dürfen.

2021-03-09 11:38 - steve_g in Beitrag No. 2 schreibt:
Sprich wie kann ich rechnerisch auf diese Ungleichungen kommen? Wie sind diese Ungeleichungen mathematisch beweisbar, dass sie immer gelten.

Wie heißt denn die Veranstaltung, in deren Rahmen du diese Aufgabe bekommen hast? Man kann das sicherlich irgendwie analytisch zeigen, das wird aber vermtlich etwas größeres werden.

Also sollten wir ersteinmal wissen, welche Mittel bzw. Grundlagen dir so zur Verfügung stehen.

Es gibt jedenfalls zwischen grafisch und rechnerisch noch eine viel vernünftigere Methode, nämlich einen geometrischen Beweis zu führen...


Gruß, Diophant



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steve_g
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-09


Diese Aufgabe habe ich im Rahmen Geometrie und Lineare Algebra bekommen.
Ich soll vermutlich zeigen, dass diese Ungleichungen im Allgemeinen gelten. Leider weiß ich nicht, wie ich das rechnerisch machen kann. (Also ohne Skizzen)



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-09


2021-03-09 11:51 - steve_g in Beitrag No. 4 schreibt:
Diese Aufgabe habe ich im Rahmen Geometrie und Lineare Algebra bekommen.
Ich soll vermutlich zeigen, dass diese Ungleichungen im Allgemeinen gelten. Leider weiß ich nicht, wie ich das rechnerisch machen kann. (Also ohne Skizzen)

Sei doch so gut und gib einmal die Aufgabe komplett und im Originalwortlaut an.

Weiter sei noch angemerkt, dass wir hier i.a. keine fertigen Lösungen geben, sondern diese im Dialog mit den Fragestellern erarbeiten.


Gruß, Diophant



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steve_g
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-09


Seien M1 ungleich M2 zwei Punkte der Ebene, sei d = |M1M2|  und seien r1 größer gleich r2 größer 0.
Zeigen Sie: Die Kreise k (M1,r1) und k (M2,r2) mit Mittelpunkten M1, M2 und Radien r1,r2 haben
(1) keinen Schnittpunkt, wenn r1 +r2 < d oder r1 - r2 > d,
(2) genau einen Schnittpunkt, wenn r1 + r2 = d oder r1 - r2 = d,
(3) genau zwei Schnittpunkte, wenn r1 + r2 >d und r1 - r2 < d.


Es ist mir klar, dass ich die vollständige Lösung nicht vorgelegt bekomme, ich hoffe ich bekomm nur den richtigen Hinweis dass ich weiß wie es weitergeht. Aber ich bedanke mich schon vorab für die Hilfe!



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-03-09


Hallo,
es wäre auch jetzt noch mehr Kontext hilfreich, insbesondere wie genau der Beweis aufgeschrieben werden soll.

Zu 1.) Kennst du bereits die Dreiecksungleichung? Es gelte $r_1+r_2<d$. Angenommen, es gäbe einen Punkt $P$, der zu beiden Kreisen gehört, so folgt $r_1=|M_1P|$ und $r_2=|M_2P|$. Mit der Dreiecksungleichung erhalten wir
\[
d\leq \ldots< d.
\]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-03-09


Hallo,

so wie die Aufgabe notiert ist würde ich sagen, dass eine geometrische Beweisführung erwartet wird, keine rechnerische. Wie kommst du denn zu deiner Annahme?

Also du musst entschuldigen: aber die von dir genannte Fächerkombination ist schon etwas ungewöhnlich. Außerdem würde sie eigentlich nahelegen, dass es um Analytische Geometrie geht (meine dahingehende Rückfrage hast du aber bisher nicht beantwortet...).

Also ganz konkret: ist das dein erster Tag an der Uni heute und du hast jetzt eben diese Aufgabe bekommen, oder was wurde in dem Zusammenhang schon an Stoff durchgenommen? 😉

Ich würde zunächst einmal die Fälle (2) und (3) zusammen betrachten und  i.w. mit Hilfe der Dreiecksungleichung argumentieren.

Den Fall (1) kann man dann durch (logische) Negation aus den Fällen (2) u. (3) ableiten.

Aber wie gesagt: ohne eine detaillierte Beschreibung deines mathematischen Hintergrunds kann man da jetzt viel herumspekulieren. Gezielt zu helfen ist so jedoch etwas schwierig.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-03-09


Hallo steve_g,

hier mal ein Tipp.

Wenn die beiden Kreise einen Schnittpunkt S haben, betrachte das Dreieck M1M2S. Dieses hat die Seitenlängen r1, r2 und d. Auf dieses Dreick kannst du die Dreiecksungleichung anwenden (für ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c gilt \(a+b\geq c\)).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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steve_g
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-09


Ich bedanke mich bei allen für die Antworten!

Die Dreiecksungleichungen habe ich mir jetzt genauer angeschaut. Wenn es einen Schnittpunkt gibt, gibt es ein entartetes Dreieck oder? Weil alle Punkte "auf einer Strecke" liegen.

Im Falle von zwei Schnittpunkten habe ich demnach zwei Dreiecke mit den entsprechenden Dreiecksungleichungen, die auch erfüllt sind.

Aber im Falle von keinen Schnittpunkten, kann ich keine Dreiecksungleichung bilden. Kann ich die Lösung aus den obigen Dreiecksungleichungen "ableiten"?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-03-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2021-03-09 12:58 - steve_g in Beitrag No. 10 schreibt:
Die Dreiecksungleichungen habe ich mir jetzt genauer angeschaut. Wenn es einen Schnittpunkt gibt, gibt es ein entartetes Dreieck oder? Weil alle Punkte "auf einer Strecke" liegen.

Im Falle von zwei Schnittpunkten habe ich demnach zwei Dreiecke mit den entsprechenden Dreiecksungleichungen, die auch erfüllt sind.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Genau. Daher ja auch mein Rat, die Fälle (2) und (3) zusammen zu betrachten.

2021-03-09 12:58 - steve_g in Beitrag No. 10 schreibt:
Aber im Falle von keinen Schnittpunkten, kann ich keine Dreiecksungleichung bilden. Kann ich die Lösung aus den obigen Dreiecksungleichungen "ableiten"?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Was ist denn in der (Aussagen-)Logik das Gegenteil von \(A\wedge B\), also von "A ist wahr und B ist wahr"?

Was ist die Negation der Aussage "zwei Kreise besitzen gemeinsame Punkte"?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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steve_g
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Ich verstehe!

Ich bedanke mich für alle Antworten!!



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