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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Definition affine K-Algebra
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Universität/Hochschule J Definition affine K-Algebra
MisterSet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-11


In Eisenbuds Commutative Algebra with a view to algebraic geometry definiert Eisenbud eine affine K-Algebra als reduzierte und e.e. K-Algebra. Dies motiviert er dadurch, dass nach dem Nullstellensatz eine K-Algebra genau dann reduziert und endlich erzeugt ist, wenn sie isomorph zu dem Koordinatenring einer affinen algebraischen Menge ist, wenn K algebraisch abgeschlossen ist. Jetzt bin ich allerdings verwirrt, was der Ausdruck affine K-Algebra für nicht abgeschlossene Körper bedeutet. Sind alle endlich erzeugten und reduzierten K-Algebren oder nur die, die isomorph zu Koordinatenringen sind, gemeint? Weiß jemand, wie dort die Konvention ist?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-11


Die Definition steht doch da, unabhängig davon, was der Körper für eine Eigenschaft hat. Es handelt sich um eine endlich-erzeugte reduzierte $K$-Algebra. Indes kann man auch die Korrespondenz zwischen Varietäten und Algebren aus der klassischen algebraischen Geometrie verallgemeinern: Sie besteht zwischen kommutativen $K$-Algebren und affinen $K$-Schemata. In diesem Sinne ist jede kommutative $K$-Algebra ein Koordinatenring, nämlich von ihrem Spektrum. Hierbei entsprechen die endlich-erzeugten kommutativen $K$-Algebren gerade den affinen $K$-Schemata von endlichem Typ, und die reduzierten kommutativen $K$-Algebren gerade den reduzierten affinen $K$-Schemata. Das gilt für jeden Körper $K$. Die Bemerkung von Eisenbud ist nur als Motivation gedacht.



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