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 Quadratisches Gleichungssystem |
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derAndi
Junior 
Dabei seit: 12.03.2021
Mitteilungen: 8
 |  Themenstart: 2021-03-12
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Hallo Zusammen,
ich habe eine kleine Frage (oder vl auch große, kann ich schwer einschätzen :-) ) zu einem Quadratischen Gleichungssystem, dass ich leider nicht lösen kann.
Die eigentliche Aufgabe lautet:
Bestimmen Sie alle kritischen Punkte von f(x,y) und prüfen Sie nach, welche davon Stellen eines relativen Maximums bzw. Minimums sind.
f(x,y) = (3 - x)(3 - y)(3 - x - y)
Im ersten Schritt habe ich die partiellen Ableitungen nach x und y berechnet um durch anschließendes Nullsetzen und lösen des Gleichungssystems die Kandidaten für mögliche Extrema zu berechnen.
f_x = -y^2 - 2xy + 6x + 9y - 18
f_y = -x^2 - 2xy + 9x + 6y - 18
Und schlussendlich komme ich dann zu folgendem Gleichungssystem.
-y^2 - 2xy + 6x + 9y - 18 = 0
-x^2 - 2xy + 9x + 6y - 18 = 0
Leider bin ich selbstständig bisher nicht in der Lage gewesen dieses zu lösen.
Kann mir diesbezüglich jemand helfen, oder gibt es einen ganz anderen Lösungsweg um in diesem konkreten Fall die kritischen Punkte zu berechnen.
Vielen dank und beste Grüße
Andi
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-12
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Hallo und willkommen hier im Forum!
Auf die Schnelle ist mir folgendes aufgefallen:
- eine Variable kommt jeweils in einer der beiden Gleichungen nur linear vor
- wenn man eine Gleichung nach dieser Variablen auflöst, ergibt sich beim Auflösen eine interessante Vereinfachungsmöglichkeit. Sichwort: Polynomdivision...
Daraus könnte man nun einen Versuch starten, das ganze per Einsetzungsverfahren zu lösen.
Kommst du damit weiter?
Gruß, Diophant
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derAndi
Junior
Dabei seit: 12.03.2021
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-12
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Servus und danke für die raschen Antwort :)
auf dem Weg war ich jetzt gerade auch schon. Ist aber recht schnell sehr unübersichtlich geworden. An die Polynomdivision hab ich bislang noch garnicht gedacht. Ich werd's mal probieren und melde mich dann wieder.
LG Andi
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-12
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Hallo,
\quoteon(2021-03-12 15:49 - derAndi in Beitrag No. 2)
auf dem Weg war ich jetzt gerade auch schon. Ist aber recht schnell sehr unübersichtlich geworden. An die Polynomdivision hab ich bislang noch garnicht gedacht. Ich werd's mal probieren und melde mich dann wieder.
\quoteoff
Rechne doch mal vor. Bei mir ist das etwas Schreibarbeit, resultiert aber zunächst in einer simplen quadratischen Gleichung für x.
Gruß, Diophant
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derAndi
Junior
Dabei seit: 12.03.2021
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-12
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Das Beispiel hat ja doch noch mega Freude bereitet 😂
Der Tipp mit der Polynomdivision war ein Hammer.
-y^2 - 2xy + 6x + 9y -18 = 0 (Gleichung aus f_x)
entspannt umgeformt auf
x = (y^2-9y+18)/(-2y+6)
mit Polynomdivision
(y^2 - 9y + 18) : (-2y + 6) = -1/2 * y + 3
dann umgeformt nach y
y = -2x +6
eingesetzt in f_y und mit der Quadratischen Lösungsformel
x_1 = 3
und
x_2 = 2
erhalten.
x-Werte in y = -2x +6 eingesetzt und
y_1 = 0
sowie
y_2 = 2
erhalten.
Der Rest war dann ein Kinderspiel
Vielen Dank für die Rettung meines Wochenendes!
LG Andi
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10532
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-12
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
hm: dir ist aber schon klar, dass die Lösungsmenge hier nicht aus einzelnen Werten sondern aus Paaren der Form \((x,y)\) bestehen muss?
Und zwar insgesamt vier an der Zahl...
Sprich: da bist du noch nicht fertig.
Hier mal noch eine Visualisierung des Graphen. Da kannst du gleich spicken, welches wirklich ein Extremum ist und wo die Sattelpunkte liegen...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
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Wohnort: Hessen
 | Beitrag No.6, eingetragen 2021-03-12
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\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Die erste Gleichung nach $x$ auf lösen und dann in die zweite einsetzen.
Ergibt die Lösungen
\hideon
$(2,2)$ und $(3,0)$
\hideoff
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]\(\endgroup\)
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derAndi
Junior 
Dabei seit: 12.03.2021
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-12
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Achso
also (3, 0) und (2, 2) sind mir klar. Aber woher kommen die anderen beiden?
Etwa (3, 2) und (2, 0)? Das würd für mich aber irgendwie keinen sinn ergeben, weil ja y_1 aus x _1 und y_2 aus x_2 resultieren ...
LG Christoph
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
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viertel
Senior
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Wohnort: Hessen
| Beitrag No.8, eingetragen 2021-03-12
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\quoteon(2021-03-12 17:01 - Diophant in Beitrag No. 5)
Und zwar insgesamt vier an der Zahl...
\quoteoff
Ich hab nur 2 😮
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
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derAndi
Junior
Dabei seit: 12.03.2021
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-12
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\quoteon(2021-03-12 17:06 - viertel in Beitrag No. 8)
\quoteon(2021-03-12 17:01 - Diophant in Beitrag No. 5)
Und zwar insgesamt vier an der Zahl...
\quoteoff
Ich hab nur 2 😮
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
\quoteoff
Das wäre auch meine Lösung gewesen.
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derAndi
Junior
Dabei seit: 12.03.2021
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-12
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\quoteon(2021-03-12 17:01 - Diophant in Beitrag No. 5)
Hallo,
hm: dir ist aber schon klar, dass die Lösungsmenge hier nicht aus einzelnen Werten sondern aus Paaren der Form \((x,y)\) bestehen muss?
Und zwar insgesamt vier an der Zahl...
Sprich: da bist du noch nicht fertig.
Hier mal noch eine Visualisierung des Graphs. Da kanst du gleich spicken, welches wirklich ein Extremum ist und wo die Sattelpunkte liegen...
Gruß, Diophant
\quoteoff
Danke für die Mühe. Puh, muss aber ganz ehrlich zugeben, dass ich persönlich da in dem Graphen recht wenig sehe, bzw. verstehe.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10532
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.11, eingetragen 2021-03-12
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo zusammen,
der Fehler liegt hier darin, dass man ein nichtlineares Gleichungssystem nicht wie ein lineares behandeln kann.
Mann muss das gleiche Prozedere also auch noch andersherum machen.
Es sollten die Lösungen \((3,0)\), \((0,3)\), \((2,2)\) und \((3,3)\) herauskommen.
@derAndi:
vergleiche einmal das Bild mit den jetzt angegebenen Lösungen. Ich hatte das Bild extra so gedreht, dass man möglichst von oben hineinsieht, sonst ist eigentlich immer einer der fraglichen Punkte verdeckt.
Erklärung zum Graphen:
rot: x-Achse
grün: y-Achse
blau: z-Achse
Es gibt wie gesagt hier ein lokales Extremum und drei Sattelpunkte.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]\(\endgroup\)
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derAndi
Junior
Dabei seit: 12.03.2021
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-12
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Ui, das ist natürlich gut zu wissen. Dankeschön 👍
Dann mach ich mich mal dran.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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| Beitrag No.13, eingetragen 2021-03-12
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@derAndi:
es wurde hier intern noch eine weitere Lösungsmöglichkeit kommuniziert. Du kannst auch beide Gleichungen subtrahieren und die Differenz geeignet faktorisieren.
So erhält man unter Ausnutzung des Satzes vom Nullprodukt zwei Substitutionsgleichungen für jede der Variablen, mit denen man dann in eine der Ursprungsgleichungen eingehen kann.
Entscheide selbst, welcher Weg dir einfacher erscheint.
Gruß, Diophant
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sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.14, eingetragen 2021-03-12
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Also ich würde Dir ehrlich gesagt nicht raten, die schöne Faktorisierung, welche in der Aufgabenstellung ja schon gegeben ist, überhaupt zu zerstören.
Wenn Du mit der Produktregel ableitest, erhältst Du
\[f_x=(-1)(3-y)(3-x-y)+(3-x)(3-y)(-1)=(3-y)(2x+y-6)\]
und analog
\[f_y=(3-x)(x+2y-6).\]
Damit bekommst Du
\[(y=3\vee 2x+y-6=0)\wedge(x=3\vee x+2y-6=0).\]
Jede der \(4\) Kombinationen liefert eine Lösung. Damit sparst Du Dir jegliches Rechnen mit nichtlinearen Termen.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.15, eingetragen 2021-03-12
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@sonnenschein96:
\quoteon(2021-03-12 17:49 - sonnenschein96 in Beitrag No. 14)
Also ich würde Dir ehrlich gesagt nicht raten, die schöne Faktorisierung, welche in der Aufgabenstellung ja schon gegeben ist, überhaupt zu zerstören.
Wenn Du mit der Produktregel ableitest, erhältst Du
\[f_x=(-1)(3-y)(3-x-y)+(3-x)(3-y)(-1)=(3-y)(2x+y-6)\]
und analog
\[f_y=(3-x)(x+2y-6).\]
Damit bekommst Du
\[(y=3\vee 2x+y-6=0)\wedge(x=3\vee x+2y-6=0).\]
Jede der \(4\) Kombinationen liefert eine Lösung. Damit sparst Du Dir jegliches Rechnen mit nichtlinearen Termen.
\quoteoff
Das ist natürlich von allen Varianten die beste. 👍
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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derAndi
Junior
Dabei seit: 12.03.2021
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-14
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\quoteon(2021-03-12 17:49 - sonnenschein96 in Beitrag No. 14)
Also ich würde Dir ehrlich gesagt nicht raten, die schöne Faktorisierung, welche in der Aufgabenstellung ja schon gegeben ist, überhaupt zu zerstören.
Wenn Du mit der Produktregel ableitest, erhältst Du
\[f_x=(-1)(3-y)(3-x-y)+(3-x)(3-y)(-1)=(3-y)(2x+y-6)\]
und analog
\[f_y=(3-x)(x+2y-6).\]
Damit bekommst Du
\[(y=3\vee 2x+y-6=0)\wedge(x=3\vee x+2y-6=0).\]
Jede der \(4\) Kombinationen liefert eine Lösung. Damit sparst Du Dir jegliches Rechnen mit nichtlinearen Termen.
\quoteoff
Vielen Dank für die viele Hilfe.
Hab’s jetzt auf beide Varianten gerechnet, und denk ich mal auch verstanden.
Ich wünsche eine erfolgreiche Woche
Lg Andi
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viertel
Senior 
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| Beitrag No.17, eingetragen 2021-03-15
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\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Hier noch eine etwas buntere Version der Grafik.
blau-grün-rot ist die z-Höhe von $-1,\dots,1$.
Die schwarzen Punkte sind die kritischen.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/1781_Quadratisches_Gleichungssystem_252792.png\(\endgroup\)
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ebikerni
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Mitteilungen: 256
| Beitrag No.18, eingetragen 2021-03-20
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Hallo viertel,
große Hochachtung für die farbige graphische Darstellung.
Auch wie bei Diophant die farbige Darstellung der Achsen x= rot, y= grün u. z= blau sind, konntest Du realisieren.
Deophant konnte 4 Punkte mit x/y 2/2 3/0 0/3 3/3 bestimmen.
Die graph. Darstellung der Punkte habe ich kontrolliert.
Bei dem Punkt 2/2 stimmen aber die Koordinaten nicht (2.1/1.9), alle
andere Punkte stimmen.
Gibt es für die ungenaue Darstellung des Punktes eine Erläuterung ?
Gruß ebikerni
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.19, eingetragen 2021-03-21
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\ID}{\mathbb{D}}
\newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Hallo ebikerni,
das mit den Achsen hat viertel doch berücksichtigt.
Was die Lage der Punkte angeht, so bist du da auf eine optische Täuschung hereingefallen: die Punkte liegen auf unterschiedlichen Höhen. Es ist etwa \(f(2,2)=-1\) und \(f(3,3)=0\).
Der Effekt ist in meinem Bild ebenfalls vorhanden, man sieht ihn aber nicht so deutlich, da ich die Punkte nicht markiert habe.
Letztendlich ist es aber egal: es ging ja nur darum, die Tatsache zu visualisieren, dass die gegebene Funktion vier kritische Punkte besitzt (in denen ihr Gradient verschwindet). Und das ist längst geklärt.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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