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 keine Schnittpunkte vorhanden: über die Ableitung beweisen? |
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marathon
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 |  Themenstart: 2021-03-12
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hallo bevor ich mich nachher wieder der unendlichen Fourier geschichte zuwende möchte ich hier eine Aufgabe posteb zu deren Lösung ich leider per se keinen Zugang habe.....
hier also die knacknuss.....
Hier die beiden Funktionen g(x) und h(x) siehe Bildelement
Eine der schwereren Aufgaben aus dem Lambacher Schweizer
es soll gezeigt werden, dass sich die Funktionen nicht schneiden
Der Graph zeigt sehr schön dass dies nicht der Fall ist der
mit der Aufgabe verbundene Arbeitsauftrag sieht aber vor
die Funktionen gleichzusetzen und dann abzuziehen ..
Dies ist ja die Standardvariante beim Versuch Schnittpunkte zu
Lokalisieren. Gut dies Erbringt f(x)=4x^4 – 2x^3 +1 davon wiederum
die Untersuchung der Extrempunkte gibt Information darüber,
dass kein Schnittpunkt vorliegt.
In blau die beiden Funktionen abgezogen und
In grau die Ableitung davon.Siehe Bild
Die Ableitung weist nun einen Sattelpunkt bei x=0 und einen schnitt Punkt mit der x Achse
Bei x= 0,5 auf.
Die Frage ist nun wie kann ich das Schaubild der Ableitung so ja der Arbeitsauftrag aus dem Lambacher ,mit der Aufgabenstellung in Verbindung bringen.
Das eine Funktion deren Ableitung in dem betreffenden Intervall unter der x- Achse verläuft fällt und oberhalb der x –Achse befindlich steigt ist auch bekannt. Aber Dies mit der Ableitung bzw den Extrempunkten und dem nicht vorhandenen Schnittpunkt
Kannte ich bisher gar nicht . Wie immer Dank für eventuell mögliche Hilfestellung.. Euer Markus
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_keine_schnittstelle_1.JPG
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-12
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo marathon,
du betrachtest richtigerweise die Differenzfunktion
\[d(x)=g(x)-h(x)=4x^4-2x^3+1\]
Soweit ist das zielführend.
Für diese Funktion musst du jetzt zwei Dinge klären:
- Ihr Verhalten für \(|x|\to\infty\)
- die Ordinate ihres (globalen!) Minimums.
Aus beidem kann man dann das gewünschte schlussfolgern: dass die Differenz keine Nullstelle besitzt und die Funktionen \(g\) und \(h\) damit keine gemeinsamen Punkte haben.
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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marathon
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-12
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_schnittpunkt_nicht_vorhanden_1.JPG
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_schnittpunkt_nicht_vorhanden_2.JPG
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_schnittpunkt_nicht_vorhanden_3.JPG
die heißt einfach dass wenn sich der Tiefpunkt über der x Achse befindet also f'(x) der zusammen gesetzten Funktion im Sinne von f(x)-g(x) größer als 0 schneiden sie sich nicht und wenn f'(x) von f(x)-g(x) kleiner
als 0 schneiden sie sich wobei die Untersuchung das beide Äste x gegen unendlich und x gegen minus unendlich mit dem Resultat enden sollte das
die f(x) Werte nicht kleiner als 0 werden dürfen. Ist dies so in meiner simplifizierenden Ausdeutung halbwegs richtig in eigenen Worten wiedergegeben. Mfg Markus
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-12
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Hallo,
das hat mit den Werten der Ableitung, insbesondere mit deren Vorzeichen nichts zu tun.
Und diese ganzen Bilder bringen dich auch nicht weiter.
Nochmal: was macht die Funktion \(d(x)=g(x)-h(x)\), wenn \(x\) gegen \(\infty\) bzw. gegen \(-\infty\) strebt?
Jetzt berechne die x-Koordinate des globalen Minimums (über den Ansatz \(d'(x_0)=0\wedge d''(x_0)>0\)) und setze sie in die Funktion d(x) ein, nicht in deren Ableitung. Ist der Wert positiv?
\quoteon(2021-03-12 21:58 - marathon in Beitrag No. 2)
Ist dies so in meiner simplifizierenden Ausdeutung halbwegs richtig in eigenen Worten wiedergegeben.
\quoteoff
Nein. Ich sehe es zumindest nicht.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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marathon
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-12
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verstehe ich überhaupt nicht!!! Hab es mir gerade nochmal angeschaut die von mir gewählte Formulierung war vielleicht auch nicht optimal gewählt... es kommt als nicht nur!!!auf die Ableitung an sondern auf den f(x) Wert des minimums
Ein Bild sagt mehr- verdeutlicht mehr als 1000 kryptischen Beweise die Schaubilder zeigen doch den Punktum Saliens um den es zu gehen scheint !!!
Versuche nochmal meine vermeintliche Häresie in Worte zu fassen...
also nochmal die "Wahrheit" im Dilettantischen als fassbares Element ... liegt das Minimum respektive der f(x) Wert der zusammen gesetzten Funktion f(x) -g(x) oberhalb der x Achse schneiden sie sich nicht!!!! und wenn das Minimum von f(x) -g(x) unterhalb der x Achse liegt dann schneiden Sie Sich
natürlich sollte dann noch die weitere formale Untersuchung erfolgen aber im Prinzip ist diese Feststellung so schlicht sie auch anmuten mag doch sicher richtig siehe die schon eingefügten Grafikelemente,wenn nicht wo!!! wäre der Gegenbeweis in Form eines Schaubildes, wenn es ihn den geben mag.
die Funktion macht auch wenn sie sich schneiden oder nicht schneiden das gleiche die f(x) Werte gehen gegen unendlich dies ist doch nur die Zusatzkontrolle das eigentliche ist doch so sehe ich es das der globale Tiefpunkt oberhalb der x Achse liegt öder stimmt dies nicht???!!!
Kontroverses muss ja auch mal sein, solange es nur das Denken irgendwie anregt!!! MfG Markus
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Diophant
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-13
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\quoteon(2021-03-12 23:29 - marathon in Beitrag No. 4)
liegt das Minimum respektive der f(x) Wert der zusammen gesetzten Funktion f(x) -g(x) oberhalb der x Achse schneiden sie sich nicht!!!!
\quoteoff
Nein. Ich habe es jetzt schon zweimal geschrieben: das alleine sagt überhaupt nichts darüber aus, ob f und g gemeinsame Punkte haben.
Da aller guten Dinge Drei sind, mache ich jetzt noch einen Versuch: zeige zusätzlich zur Berechnung des positiven Minimums, dass das Minimum ein globales Minimum ist.
Wie du das zeigen magst bleibt dir überlassen. Eine Möglichkeit habe ich dir oben genannt. Und zwar genau die, die im Rahmen der Schulmathemtik angedacht ist. Und wo wir schon dabei sind:
\quoteon(2021-03-12 16:36 - marathon im Themenstart)
...hier also die knacknuss.....
...Eine der schwereren Aufgaben aus dem Lambacher Schweizer...
\quoteoff
Nein. Das ist weder eine 'Knacknuss' noch eine schwierigere Aufgabe: das ist eine absolute Routine-Aufgabe, wie sie Schüler*innen im Lauf der Kursstufe zigmal zu Gesicht bekommen.
In Baden-Württemberg wäre so etwas ein Klassiker für den hilfmsittelfreien Pflichtteil der Abiturprüfung (vielleicht mit etwas anderen Koeffizienten, so dass sich die notwendige Bruchrechnung für die Ordinate des Minimums noch einfacher durchführen lässt).
Gruß, Diophant
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marathon
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-13
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Du hast die Aufgabe überhaupt nicht kapiert natürlich sagt dies etwas drüber aus das ich es hier bei um den Fakt handelt, dass sich die beiden Funktionen nicht schneiden als in der Reihenfolge für die etwas faormalfokussierten also zuerst ich ziehe beide Funktionen voneinander ab bilde dann die Ableitung und setze diesen x wert wieder in die zusammengetzte Funktion ein und wenn dieser f(x) Wert überhalb derx achse liegt schneiden sie sich und
natürlich muss das Verhalten gegen + und - unendlich untersucht werden.natürlich entspricht die von mir gewählte Ausdrucksweise nicht den formalen Kriterien aber wenn man den Kern meiner aussage betrahctet habe ich denke ich schon recht ich verdeutliche es dir und hier nach mal an einem Beispiel Ein weise würde sagen er der Markus der Mathe Novize drückt sich unglücklich aus aber er abgesehen von vorhandenen formalen Schwächen
hat er im Kern!!!! recht....
habe es hier mit zwei Bildserien noch einmal verdeutlicht wie gesagt formal entspricht dies natürlich nicht höheren Ansprüchen aber in der Sache stimmt es und bitte bringe mir doch einmal durchgerechnet ein Gegenbeispiel wo meine Annahme durch Rechnung widerlegt wird!!!!
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_keine_schnittstelle_3.JPG
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_keine_schnittstelle_4.JPG
immer wieder retardierendes Element mit dem Zusatz dass zusätzlich natürlich überprüft werden muss dass die Funktion für sehr große und sehr große negative Werte als Betrag von x gegen unendlich f(x) gegen unendlich anzeigt. wieder ungeschickt ausgedrückt aber in der Sache wohl auch erneut richtig!!!!
aber um Gotte willen kein Steit nach dem Motto kontroverse belebt solange es nicht zu platt wird die Aufgabe wurde zudem schon im aktuellen lambacher mit blau gemaltem Voll Punkt als eher anspruchsvoll eingestuft werde das auch noch einfügen bei den Trainingsaufgaben weißer Punkt standart halb ausgemalter punkt mittel anspruchsvoll ganz ausgemalter Punkt eher etwas zum knobeln aber keine Aufgabe
für einen 4-5 er Kandidaten glaube ich nicht....
Mfg Markus
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Diophant
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-03-13
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Die Reihenfolge deiner Argumentation ist falsch, das ist das Problem.
Es ist zunächst
\[\lim_{|x|\to\infty} \left(4x^4-2x^3+1\right)=\lim_{|x|\to\infty} x^4\left(4-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^4}\right)=\infty\]
Weiter ist
\[d'(x)=16x^3-6x^2=2x^2(8x-3),\ d''(x)=48x^2-12x\]
Wir bestimmen die Punkte mit waagerechter Tangente:
\[d'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad x_{1,2}=0,\ x_3=\frac{3}{8}\]
(An der Stelle ist also deine Rechnung schon einmal falsch.)
An der Stelle x=0 ist die zweite Ableitung ebenfalls gleich Null, und wegen der algebraischen Vielfachheit der Lösung darf man im Rahmen der Schulmathematik hier ohne weiteren Nachweis von einem Sattelpunkt \(S\left(0|1\right)\) ausgehen.
Wir untersuchen die zweite Ableitung an der Stelle \(x=\frac{3}{8}\):
\[f''\left(\frac{3}{8}\right)=48\cdot\left(\frac{3}{8}\right)^2-12\cdot\left(\frac{3}{8}\right)=\frac{9}{4}>0\]
Also liegt an dieser Stelle ein Minimum vor, und da es keine weiteren Punkte mit waagerechter Tangente gibt und bereits nachgewiesen ist, dass die Funktion an beiden Rändern gegen \(\infty\) strebt, ist dieses Minimum global.
Am Ende berechnet sich der Funktionswert des Minimums zu
\[f\left(\frac{3}{8}\right)=4\cdot\left(\frac{3}{8}\right)^4-2\cdot\left(\frac{3}{8}\right)^3+1=\frac{997}{1024}>0\]
Und erst jetzt ist der Sachverhalt gezeigt.
Du kannst in der Mathematik nicht irgendwelche Teilbeweise erbringen und den Rest auf Verlangen nachliefern bzw. als unnötig abtun.
\quoteon(2021-03-13 16:29 - marathon in Beitrag No. 6)
Du hast die Aufgabe überhaupt nicht kapiert...
\quoteoff
Hier hast du mich jetzt durchschaut: ich antworte hier grundsätzlich nur auf Fragen, die ich nicht kapiert habe.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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marathon
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-13
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Ok für Diophant muss einräumen deine Ausführung sind natürlich, doch sehr akribisch
und entsprechen mit Sicherheit eher dem anzuvisierenden höheren Standard bzw Niveau der formal exakten Ausgestaltung.
während ich semper idem auf meinem Level, eben das mir Mögliche, in der Dimension der Simplifizierung versucht habe an den Tag zu legen.
Daher trotz bestehender Diskrepanz man muss ja nicht immer alles auflösen ---nivellieren--- danke sehr !!! für die gezeigte Bemühung.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_den_hut_2.JPG
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_hut_ab.JPG
.....ps wie groß ist der Unterschied zwischen Mathlab und dem viel viel billigeren Programm Oktave habe gelesen der Funktionsumfang soll
beinahe gleich sein ......besteht da vielleicht auch eine Vorinformiertheit...... mfg Markus
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Diophant
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-03-13
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Hallo,
der Unterschied zwischen Matlab und Octave ist nach meiner Kenntnis gering. Und vor allem: Octave ist nicht nur billiger, sondern umsonst.
Solltest du eine Installation unter Windows erwägen, dann rate ich dir jedoch, die Finger von der Version 6.1.0 zu lassen und lieber im Netz zu suchen, ob du noch an eine der 5er-Versionen kommst. Bzw.: diese Version bekommst du auch auf der Seite des Projekts, dort kann man auch ältere Versionen noch herunterladen.
Nachtrag: in der aktuellen Version scheint das Problem mit Umgebungsvariablen, das ich bei dieser Warnung im Sinn hatte, behoben zu sein. Mit etwas Risikofreude kann man also auch die Version 6.2.0 ausprobieren...
Unter Linux ist sowieso die Version 5.2 aktuell (wieder nach meiner Kenntnis, bezogen auf Fedora 33).
Gruß, Diophant
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dietmar0609
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 | Beitrag No.10, eingetragen 2021-03-15
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Genügt es nicht einfach zu zeigen, dass immer für alle x
f(x) = 4x^4 - 2x^3 +1 > 0 gilt.
4x^4 > 2x^3 - 1
etc.
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-03-15
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@dietmar0609:
Das ist eine Aufgabe aus Baden-Württemberg, vermutlich aus dem LS Analysis-Buch für die Kursstufe, oder eventuell aus einem Schulbuch Stufe 10 Gymnasium. Von daher habe ich einfach den dort angedachten Weg verfolgt.
Solche Ungleichungen würden diesen vorgegebenen Rahmen bei weitem sprengen...
Und die eine oder andere Zusatzüberlegung braucht es ja auch, um die generelle Gültigkeit der Ungleichung zu begründen.
Gruß, Diophant
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