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Universität/Hochschule Funktionalanalysis: Normen
servus1991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-19


Hallo ,

ist meine Begrundung daunten dargestellt richtig?

vielen Dank

(2.18) Beispiel. Im Hilbertraum $\ell^{2}$ aller quadratsummierbaren Zahlenfolgen ist die Familie der Elemente
$$ \begin{aligned}
x_{1} &=(1,0,0,0,0,0, \ldots), \\
x_{2} &=(0,1 / 2,0,0,0, \ldots), \\
x_{3} &=(0,0,1 / 3,0,0, \ldots), \\
x_{4} &=(0,0,0,1 / 4,0, \ldots)
\end{aligned}
$$ und so weiter summierbar zur Summe
$$ s:=(1,1 / 2,1 / 3,1 / 4, \ldots)
$$ (wie sofort aus der Konvergenz der Reihe $\sum_{i=1}^{\infty} 1 / i^{2}$ folgt), aber nicht absolut summierbar (weil die Reihe $\sum_{i=1}^{\infty}\left\|x_{i}\right\|=\sum_{i=1}^{\infty} 1 / i$ divergiert.

Die Begrundung:

Hier sollte es darum gehen, dass aus der Summierbarkeit nicht unbedingt der absoluten Summierbarkeit folgt:
Meine Frage bezieht sich auf die Begrundung: also ist die Reihe summierbar, denn:
$\|s\|_{2}=\left\|\sum_{i=1}^{\infty} x_{i}\right\|_{2}=\sqrt{\left|s_{1}\right|^{2}+\left|s_{2}\right|^{2}+\cdots}=\sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} 1 / i^{2}}$
(Nach dem Majorantenkriterium, aus der Konvergenz der Reihe $\sum_{i=1}^{\infty} 1 / i^{2}$ folgt die Konvergenz $\left.\sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} 1 / i^{2}}\right)$
Aber nicht absolut summierbar (weil die Reihe $\sum_{i=1}^{\infty}\left\|x_{i}\right\|_{2}=\sum_{i=1}^{\infty} \sqrt[2]{\sum_{j=1}^{\infty}\left|x_{j}\right|^{2}}=\sum_{i=1}^{\infty} \sqrt{1 / i^{2}}= \sum_{i=1}^{\infty} 1 / i$ divergiert



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