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Universität/Hochschule Besselsche Ungleichung
servus1991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-19


Hallo .
meine Frage bezieht sich auf die Gleichung ($\star$).
für alle $u \in U$ können wir $u$ nicht so schreiben $u=\lambda_{i} u_{i}$, da $\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)$  nur ein endliches Orthonormalsystem  und kein Orthonormalbasis von $U,$ ist.




(1.18) Satz. Es seien $V$ ein Skalarproduktraum, $U$ ein Unterraum von $V$ und $x \in V$ ein beliebiges Element von $V$. Für einen Vektor $u_{0} \in U$ sind dann die folgenden Bedingungen äquivalent:
(1) $\left\|x-u_{0}\right\| \leq\|x-u\|$ für alle $u \in U$
(2) $x-u_{0} \in U^{\perp}\left(\right.$ d.h., $x-u_{0} \perp u$ für alle $\left.u \in U\right)$.

(1.21) Satz. Es seien $V$ ein Skalarproduktraum, $U$ ein endlichdimensionaler Unterraum von $V$ und $x \in V$ ein beliebiges Element von $V$. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Element $u_{0} \in U$ mit $\left\|x-u_{0}\right\| \leq\|x-u\|$ für alle $u \in U$. Dieses Element nennt man die Orthogonalprojektion von $x$ auf $U$ und bezeichnet es mit $P_{U}(x)$. Ist $\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right)$ eine beliebige Orthonormalbasis von $U,$ so gilt
$$ P_{U}(x)=\sum_{i=1}^{n}\left\langle x, e_{i}\right\rangle e_{i}
$$
Wir wollen nun speziell Reihen in Hilberträumen untersuchen, wo aufgrund der Existenz eines Skalarprodukts und damit des Begriffs der Orthogonalität eine stärker geometrisch motivierte Diskussion als in allgemeinen Banachräumen möglich ist. In (1.21) zeigten wir, daß für jedes endliche Orthonormalsystem $\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)$ in einem Skalarproduktraum $V$ über $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ die Abschätzung
$$ (\star) \quad\left\|x-\sum_{i=1}^{n}\left\langle x, u_{i}\right\rangle u_{i}\right\| \leq\left\|x-\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} u_{i}\right\|
$$ für alle $x \in V$ und alle $\lambda_{i} \in \mathbb{K}$ erfüllt ist.

meine Frage bezieht sich auf die Gleichung ($\star$).
für alle $u \in U$ können wir $u$ nicht so schreiben $u=\lambda_{i} u_{i}$, da $\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)$  nur ein endliches Orthonormalsystem  und kein Orthonormalbasis von $U,$ ist.

vielen Dank vorab.



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