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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Basisfunktionen in der Ortsdarstellung: Diracnotation
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Universität/Hochschule Basisfunktionen in der Ortsdarstellung: Diracnotation
Quantenfreak
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  Themenstart: 2021-03-19

Hallo Matheplanet! Ich kann mich nur sehr schwer mit der Darstellung \[\psi_k(\mathbf{r})=\langle \mathbf{r}\vert k\rangle\] für die Basisfunktionen in der Ortsdarstellung anfreunden. Kann mir jemand diesen Zusammenhang etwas erläutern?


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moep
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-19

Vergleiche das mit der "Darstellung" der "Position" $\vec{x}$ eines Objektes in einem drei-dimensionalen Raum mit Hilfe von kartesischen Koordinaten $(x_1,x_2,x_3)$. Dazu musst du dich zunaechst auf eine Basis $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$, $\vec{e}_3$ festlegen, die selbst wiederum bestimmte Positionen im Raum markieren. Die Koordinatendarstellung von $\vec{x}$ ergibt sich dann aus $(x_1(\vec{x}),x_2(\vec{x}),x_3(\vec{x})) = (\vec{e}_1 \cdot \vec{x}, \vec{e}_2 \cdot \vec{x}, \vec{e}_3 \cdot \vec{x})$. Genau so verhaelt es sich in der Quantenmechanik mit der Darstellung von Zustaenden (= Vektoren im Hilbertraum) als Wellenfunktion (= "Koordinatensystem" Ortsraum). Fuer jeden Zustand $\vert k \rangle$ sind die Ortsraum-"Koordinaten" $\psi_k(\vec{r})$ die Funktionswerte der Wellenfunktion am Ort $\vec{r}$. Wie berechnet man diese? Nun, man einigt sich zunaechst auf ein System von Basisvektoren $\vert \vec{r} \rangle$, die selbst auch Zustaende (= Vektoren im Hilbertraum) sind, und berechnet einfach das Skalarprodukt, was in Braket-Schreibweise einfach $\langle \vec{r} \vert k \rangle$ ist.


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FibreBundle
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-19

Hallo ich versuchs mal. Prinzipiell gilt ja, dass $|\psi\rangle$ ein Element im Hilbertraum sein soll. Man kann dann diesen Zustand mit einer Basis ausdrücken. Wenn ich $\langle x|\psi\rangle$ betrachte, dann ist das eine allgemeine Ortsfunktion $\psi(x)$. Dabei ist $\langle x|$ der Bra-Vektor zu $|x\rangle$ und $|x\rangle$ ist ein Ortseigenvektor. Es gilt dann $x|x\rangle = \hat{x}|x\rangle$. Jetzt gibt es auch Impulseigenvektoren $|p\rangle$ für diese gilt: $p|p\rangle = \hat{p}|p\rangle$ und damit auch $\langle p | \psi\rangle = \psi(p)$. Prinzipiell gilt ja auch $p=\hbar k$. Washalb zwischen $|p\rangle$ und $|k\rangle$ nur ein Faktor als Unterschied ist. Wenn ich nun $\langle x| p \rangle = C_1\exp(ixp/\hbar)$ oder $\langle p|x\rangle = C_2\exp(-ipx/\hbar)$ betrachte, dann sind das Exponentialfunktionen. Das sind Funktionen von $x$ und $p$. Es kann natürlich sein, dass mit $|k\rangle$ nicht der Impulseigenvektor von oben gemeint ist, sondern ein anderer Zustands-Eigenvektor. Dann würde ich eher $|\psi_l\rangle$ notieren für einen Eigenzustand mit Index $l$. In diesem Fall würde gelten $\sum_l|\psi_l\rangle = |\psi\rangle$. Und solche Eigenfunktionen kann man wiederum in der Ortsbasis darstellen. $\langle x|\psi_l\rangle = \psi_l(x)$. Es gilt dann $\hat{l}|\psi_l\rangle = l |\psi_l\rangle$. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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